כפל של α מספר ממשי ידי וקטור - נ : α v מתן וקטור אחר ואת השייכות V .

חזון אמנותי של מרחב וקטורי. מקור: Pixabay

כדי לציין וקטור אנו משתמשים בבגדים מודגשים ( v הוא וקטור), ועבור סקלרים או מספרים אותיות יווניות (α הוא מספר).

אקסיומות ותכונות

כדי שניתן לתת מרחב וקטורי, שמונה האקסיומות הבאות חייבות להחזיק:

קומיטיביות 1: u + v = v + u

2-מעבר: ( u + v ) + w = u + ( v + w )

3-קיום של וקטור האפס 0 כך ש- 0 + v = v

4-קיום ההפך: ההפך מ v הוא (- v ), שכן v + (- v ) = 0

5-התפלגות המוצר ביחס לסכום הווקטורי: α ( u + v ) = α u + α v

6-חלוקת המוצר ביחס לסכום הסקלרי: (α + β) v = α v + β v

7-אסוציאטיביות של המוצר הסקלרי: α (β v ) = (α β) v

8-המספר 1 הוא היסוד הנייטרלי שכן: 1 v = v

דוגמאות למרחבים וקטוריים

דוגמא 1

וקטורים במישור (R²) הם דוגמה למרחב וקטורי. וקטור במטוס הוא אובייקט גיאומטרי בעל גודל וכיוון. הוא מיוצג על ידי קטע מכוון השייך למישור האמור ובגודל פרופורציוני לגודל שלו.

ניתן להגדיר את סכום שני הווקטורים במישור כפעולת התרגום הגיאומטרית של הווקטור השני אחרי הראשון. תוצאת הסכום היא הקטע המכוון המתחיל ממקור הראשון ומגיע לקצה השני.

באיור ניתן לראות כי הסכום ב- R² הוא קומיטטיבי.

איור 2. וקטורים במישור יוצרים מרחב וקטורי. מקור: תוצרת עצמית.

מוגדר גם המוצר של מספר α וקטור. אם המספר חיובי, נשמר כיוון הווקטור המקורי והגודל הוא כ α פי הווקטור המקורי. אם המספר שלילי, הכיוון הוא הפוך, וגודל הווקטור שנוצר הוא הערך המוחלט של המספר.

הווקטור שמול כל וקטור v הוא - v = (- 1) v .

וקטור ה- null הוא נקודה במישור R², והמספר אפס כפול וקטור נותן את וקטור ה- null.

כל הנאמר באיור 2.

דוגמא 2

הסט P של כל הפולינומים בדרגה פחות או שווה לשניים, כולל דרגה אפס, יוצרים קבוצה המספקת את כל האקסיומות של מרחב וקטורי.

תן לפולינום P (x) = x² + bx + cy Q (x) = d x² + ex + f

סכום של שני פולינומים מוגדר: P (x) + Q (x) = (a + d) x² + (b + e) ​​x + (c + f)

סכום הפולינומים השייכים לסט P הוא קומיטטיבי וטרנזיטיבי.

פולינום האפס השייך לסט P הוא כזה שכל מקדמיו שווים לאפס:

0 (x) = 0 x² + 0 x + 0

סכום סקלרי α על ידי פולינום מוגדר כ: α P (x) = α ∙ a x² + α ∙ bx + α ∙ c

הפולינום ההפוך של P (x) הוא -P (x) = (-1) P (x).

מכל האמור לעיל יוצא כי הסט P של כל הפולינומים בדרגה פחות או שווה לשניים הוא מרחב וקטורי.

דוגמא 3

הסט M של כל מטריצות של m שורות עמודות xn שהרכיבים שלהן הם מספרים אמיתיים יוצרים מרחב וקטורי אמיתי, ביחס לפעולות של הוספת מטריצות ותוצר של מספר על ידי מטריצה.

דוגמא 4

הסט F של פונקציות רציפות של משתנה אמיתי, יוצר מרחב וקטורי, שכן ניתן להגדיר את הסכום של שתי פונקציות, כפל סקלר על ידי פונקציה, פונקציית null ופונקציה סימטרית. הם גם ממלאים את האקסיומות המאפיינות מרחב וקטורי.

בסיס ומימד של מרחב וקטורי

בסיס

הבסיס של מרחב וקטורי מוגדר כסט של וקטורים בלתי תלויים ליניארי כך שניתן ליצור כל וקטור של מרחב וקטורי זה משילוב ליניארי ביניהם.

שילוב ליניארי של שני וקטורים או יותר מורכב מכפלת הווקטורים בסקלר כלשהו ואז הוספתם וקטורי.

לדוגמא, במרחב הווקטורי של וקטורים בשלושה ממדים הנוצרים על ידי R3, משתמשים בבסיס הקנוני שהוגדר על ידי וקטורי היחידה (בעוצמה 1) i , j , k .

איפה אני = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1). אלה הם הווקטורים הקרטזיים או הקאנוניים.

כל וקטור V השייך ל R3 כתוב כ- V = a i + b j + c k , שהוא שילוב ליניארי של וקטורי הבסיס i , j , k . סקלר או מספרים a, b, c ידועים כרכיבים קרטזית של V .

נאמר גם כי וקטורי הבסיס של מרחב וקטורי יוצרים מערך גנרטורים של מרחב הווקטור.

מֵמַד

המימד של מרחב וקטורי הוא המספר הקרדינלי של בסיס וקטורי לאותו מרחב; כלומר, מספר הווקטורים המרכיבים את הבסיס האמור.

קרדינל זה הוא המספר המרבי של וקטורים בלתי תלויים לינאריים של אותו שטח וקטורי, ובו זמנית מספר הווקטורים המינימלי המהווים מערך גנרטורים של אותו שטח.

הבסיסים של מרחב וקטורי אינם ייחודיים, אך לכל הבסיסים של אותו מרחב וקטורי יש את אותו ממד.

מרחב תת-וקטורי

מרחב תת-וקטורי S של מרחב וקטורי V הוא תת-קבוצה של V שבה אותם פעולות מוגדרות כמו ב- V וממלא את כל אקסיומות המרחב הווקטורי. לכן, מרחב המשנה S יהיה גם מרחב וקטורי.

דוגמה לשטח מרחב וקטורי הם הווקטורים השייכים למישור ה- XY. מרחב משנה זה הוא תת-קבוצה של מרחב וקטורי עם ממדיות גדול יותר ממערכת הווקטורים השייכים לחלל התלת ממדי XYZ.

להלן דוגמה נוספת לתת-מרחב וקטורי S1 של מרחב הווקטור S שנוצר על ידי כל 2 המטריצות 2 × 2 עם אלמנטים אמיתיים.

מצד שני, S2 שהוגדר להלן, למרות שהיא תת-קבוצה של S, אינו מהווה מרחב משנה וקטורי:

תרגילים שנפתרו

-תרגיל 1

תנו לווקטורים V1 = (1, 1, 0); V2 = (0, 2, 1) ו- V3 = (0, 0, 3) ב- R³.

א) הראו שהם עצמאיים באופן לינארי.

ב) הראו כי הם מהווים בסיס ב- R 3, מכיוון שכל טריפל (x, y, z) ניתן לכתוב כשילוב ליניארי של V1, V2, V3.

ג) מצא את רכיבי המשולש V = (-3,5,4) בבסיס V1 , V2 , V3 .

פִּתָרוֹן

הקריטריון להפגנת עצמאות לינארית מורכב בביסוס מערך המשוואות הבא ב- α, β ו- γ

α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3) = (0, 0, 0)

במקרה שהפתרון היחיד למערכת זו הוא α = β = γ = 0, אז הווקטורים אינם תלויים באופן ליניארי, אחרת הם לא.

כדי להשיג את הערכים של α, β ו- γ אנו מציעים את מערכת המשוואות הבאה:

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = 0

הראשון מוביל ל α = 0, השני α = -2 ∙ β אך מכיוון α = 0 אז β = 0. המשוואה השלישית מרמזת על כך ש- γ = (- 1/3) β, אך מכיוון ש- β = 0 אז γ = 0.

תשובה ל

מסקנה כי מדובר בקבוצת וקטורים בלתי תלויים ליניארית ב- R³.

תשובה ב

כעת נכתוב את המשולש (x, y, z) כשילוב ליניארי של V1, V2, V3.

(x, y, z) = α V1 + β V2 + γ V3 = α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3)

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = x

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = y

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = z

איפה יש לך:

α = x

α + 2 β = y

β + 3 γ = z

הראשון מציין α = x, השני β = (yx) / 2 והשלישי γ = (z- y / 2 + x / 2) / 3. בדרך זו מצאנו את הגנרטורים של α, β ו- γ מכל שלישייה של R3

תשובה ג

נעבור למציאת רכיבי המשולש V = (-3,5,4) בבסיס V1 , V2 , V3 .

אנו מחליפים את הגנרטורים את הערכים המתאימים בביטויים שנמצאו לעיל.

במקרה זה יש לנו: α = -3; β = (5 - (- 3)) / 2 = 4; γ = (4- 5/2 + (- 3) / 2) / 3 = 0

זה:

(-3,5,4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)

האחרון:

V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3

אנו מסיקים כי V1, V2, V3 מהווים בסיס במרחב הווקטורי R3 של מימד 3.

- תרגיל 2

מבטאים את הפולינום P (t) = t² + 4t -3 כשילוב ליניארי של P1 (t) = t² -2t + 5, P2 (t) = 2t² -3t ו- P3 (t) = t + 3.

פִּתָרוֹן

P (t) = x P1 (t) + y P2 (t) + z P3 (t)

שם יש לקבוע את המספרים x, y, z.

על ידי הכפלת וקבוצת מונחים באותה תואר ב- t אנו משיגים:

t² + 4 t -3 = (x + 2y) t² + (-2x -3y + z) t + (5x + 3z)

מה שמוביל אותנו למערכת המשוואות הבאה:

x + 2y = 1

-2x -3y + z = 4

5x + 3z = -3

הפתרונות של מערכת משוואות זו הם:

x = -3, y = 2, z = 4.

זה:

P (t) = -3 P1 (t) + 2 P2 (t) + 4 P3 (t)

- תרגיל 3

הראו שהווקטורים v1 = (1, 0, -1, 2); v2 = (1, 1, 0, 1) ו- v3 = (2, 1, -1, 1) של R⁴ אינם תלויים באופן ליניארי.

פִּתָרוֹן

אנו משלבים באופן לינארי את שלושת הווקטורים v1 , v2 , v3 ודורשים שהשילוב יוסיף את אלמנט ה- null של R⁴

a v1 + b v2 + c v3 = 0

זאת אומרת,

a (1, 0, -1, 2) + b (1, 1, 0, 1) + c (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0)

זה מוביל אותנו למערכת המשוואות הבאה:

a + b + 2 c = 0

b + c = 0

-א - ג = 0

2 a + b + c = 0

הפחתת הראשון והרביעי יש לנו: -a + c = 0 שמשמעותו a = c.

אבל אם אנו מסתכלים על המשוואה השלישית, יש לנו כי a = -c. הדרך היחידה ש- a = c = (- c) מחזיקה היא ש- c יהיה 0 ולכן גם רצון יהיה 0.

a = c = 0

אם אנו מחברים תוצאה זו למשוואה הראשונה, אנו מסיקים ש- b = 0.

לבסוף a = b = c = 0, כך שניתן להסיק כי הווקטורים v1, v2 ו- v3 אינם תלויים באופן לינארי.

הפניות

1. Lipschutz, S. 1993. אלגברה לינארית. מהדורה שנייה. מקגרו-היל. 167-198.