מושגי התחום והתחום הנגדי של פונקציה נלמדים בדרך כלל בקורסי חשבון ומועברים בתחילת לימודי האוניברסיטה.
לפני שתגדיר את התחום ואת הנגד, עליך לדעת מהי פונקציה. פונקציה f היא חוק (כלל) של התכתבויות שנעשו בין האלמנטים של שתי קבוצות.
הסט שממנו נבחרים האלמנטים נקרא תחום הפונקציה, והסט אליו נשלחים אלמנטים אלה דרך f נקרא התחום הנגדי.
במתמטיקה מצוין פונקציה עם תחום A ותחום נגדי B על ידי הביטוי f: A → B.
הביטוי הקודם אומר כי האלמנטים של סט A נשלחים לסט B בעקבות חוק ההתכתבויות ו.
פונקציה מקצה כל אלמנט של קבוצה A אלמנט יחיד בקבוצה B.
תחום ונגד
בהינתן פונקציה אמיתית של משתנה אמיתי f (x), יש לנו שתחום הפונקציה יהיה כל אותם המספרים האמיתיים כך שכאשר הם מוערכים ב- f התוצאה היא מספר אמיתי.
באופן כללי, התחום הנגדי של פונקציה הוא קבוצת המספרים האמיתיים R. התחום הנגדי נקרא גם ערכת ההגעה או הקודומיין של הפונקציה f.
האם קונטרה-דומיין של פונקציה הוא תמיד R?
לא. כל עוד הפונקציה לא נחקרת בפירוט, מערך המספרים האמיתיים R נלקח בדרך כלל כתחום נגדי.
אבל ברגע שנלמד הפונקציה, ניתן לקחת מערך מתאים יותר כדומיין נגדי, שיהיה תת-קבוצה של R.
הסט המתאים שהוזכר בפסקה הקודמת תואם את תמונת הפונקציה.
הגדרת התמונה או הטווח של פונקציה f מתייחסת לכל הערכים שמגיעים מהערכת מרכיב של התחום ב- f.
דוגמאות
הדוגמאות הבאות ממחישות כיצד לחשב את התחום של פונקציה ואת הדימוי שלה.
דוגמא 1
לאפשר ל- f להיות פונקציה אמיתית המוגדרת על ידי f (x) = 2.
התחום של f הוא כל המספרים האמיתיים כך שכאשר מעריכים אותם ב- f התוצאה היא מספר אמיתי. קונטרה-דומיין לרגע שווה ל-ר.
מכיוון שהפונקציה הנתונה היא קבועה (תמיד שווה ל -2), לא משנה איזה מספר אמיתי נבחר, שכן כאשר מעריכים אותה ב- f התוצאה תמיד תהיה שווה ל 2, שהוא מספר אמיתי.
לכן התחום של הפונקציה הנתונה הוא כל המספרים האמיתיים; כלומר, A = R.
כעת, לאחר שידוע שתוצאת הפונקציה תמיד שווה ל -2, יש לנו שתמונת הפונקציה היא רק המספר 2, ולכן ניתן להגדיר מחדש את התחום הנגדי של הפונקציה כ- B = Img (f) = {שתיים}.
לכן, f: R → {2}.
דוגמא 2
תן g להיות פונקציה אמיתית המוגדרת על ידי g (x) = √x.
כל עוד לא ידוע דימוי ה- g, הרי שההתוויה של g היא B = R.
עם פונקציה זו יש לקחת בחשבון כי השורשים המרובעים מוגדרים רק עבור מספרים לא שליליים; כלומר, עבור מספרים הגדולים או שווים לאפס. לדוגמה, √-1 אינו מספר אמיתי.
לפיכך, תחום הפונקציה g חייב להיות כל המספרים הגדולים או שווים לאפס; כלומר x ≥ 0.
לכן, A = [0, + ∞).
כדי לחשב את הטווח, יש לציין כי כל תוצאה של g (x), מכיוון שהיא שורש ריבועי, תהיה תמיד גדולה או שווה לאפס. כלומר, B = [0, + ∞).
לסיכום, g: [0, + ∞) → [0, + ∞).
דוגמא 3
אם יש לנו את הפונקציה h (x) = 1 / (x-1), יש לנו שפונקציה זו אינה מוגדרת עבור x = 1, שכן במכנה היינו מקבלים אפס והחלוקה באפס אינה מוגדרת.
מצד שני, עבור כל ערך אמיתי אחר התוצאה תהיה מספר אמיתי. לפיכך, התחום הוא כולו ממלכתי למעט אחד; כלומר, A = R \ {1}.
באותו אופן ניתן להבחין כי הערך היחיד שלא ניתן להשיג כתוצאה מכך הוא 0, מכיוון שכדי שבריר יהיה שווה לאפס המספר חייב להיות אפס.
לכן, תמונת הפונקציה היא קבוצת כל הריאלים למעט אפס, ולכן היא נלקחת כדומיין נגדי B = R \ {0}.
לסיכום, h: R \ {1} → R \ {0}.
תצפיות
התחום והתמונה אינם חייבים להיות מאותה קבוצה, כפי שמודגם בדוגמאות 1 ו -3.
כאשר פונקציה מתוארת במישור הקרטזיאני, הדומיין מיוצג על ידי ציר ה- X והדומיין הנגדי או הטווח מיוצגים על ידי ציר ה- Y.
הפניות
- Fleming, W., & Varberg, DE (1989). מתמטיקה פרקלקולוס. פרנטיס הול PTR.
- Fleming, W., & Varberg, DE (1989). מתמטיקה של Precalculus: גישה לפיתרון בעיות (2, Illustrated ed.). מישיגן: פרנטיס הול.
- Fleming, W., & Varberg, D. (1991). אלגברה וטריגונומטריה עם גיאומטריה אנליטית. פירסון חינוך.
- Larson, R. (2010). פרקלקולוס (8 עורכים). לימוד Cengage.
- Leal, JM, & Viloria, NG (2005). גיאומטריה אנליטית. מרידה - ונצואלה: עריכה ונצולנה קליפורניה
- פרז, CD (2006). חישוב מוקדם. פירסון חינוך.
- פרסל, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). חשבון (מהדורה תשיעית). אולם פרנטיס.
- Saenz, J. (2005). חישוב דיפרנציאלי עם פונקציות טרנסצנדנטיות מוקדמות למדע והנדסה (מהדורה שנייה מהדורה). אֲלַכסוֹן.
- סקוט, קליפורניה (2009). גיאומטריה של המטוס הקרטזיאני, חלק: חרקים אנליטיים (1907) (הדפסה מחודשת). מקור הברק.
- סאליבן, מ '(1997). חישוב מוקדם. פירסון חינוך.