התפלגויות הסתברות בדידות: מאפיינים, תרגילים - מתמטיקה - 2025

ההסתברויות הדיסקרטיות הן פונקצית מקצה לכל אלמנט של X (S) = {x1, x2, …, xi, …}, כאשר X הוא משתנה בדיד אקראי נתון S הוא שטח המדגם, ההסתברות האירוע האמור מתרחש. פונקציה זו של X (S) המוגדרת כ- f (xi) = P (X = xi) נקראת לעיתים פונקצית מסת ההסתברות.

מסת הסתברות זו מיוצגת בדרך כלל בצורה טבלה. מכיוון ש- X הוא משתנה אקראי בדיד, ל- X (S) יש מספר סופי של אירועים או אינסוף ספיר. בין התפלגויות ההסתברות הבודדות הנפוצות ביותר יש לנו את ההתפלגות האחידה, את ההתפלגות הבינומית ואת התפלגות פואסון.

מאפיינים

פונקציית חלוקת ההסתברות חייבת לעמוד בתנאים הבאים:

יתר על כן, אם X לוקח רק מספר סופי של ערכים (לדוגמה x1, x2, …, xn), p (xi) = 0 אם i> ny, לכן הסדרה האינסופית של מצב b הופכת ל סדרה סופית.

פונקציה זו ממלאת גם את המאפיינים הבאים:

תן ל- B להיות אירוע המשויך למשתנה האקראי X. משמעות הדבר היא ש- B כלול ב- X (S). באופן ספציפי, נניח ש- B = {xi1, xi2, …}. לכן:

במילים אחרות, ההסתברות לאירוע B שווה לסכום ההסתברויות של התוצאות האינדיבידואליות הקשורות ל- B.

מכאן ניתן להסיק שאם a <b, האירועים (X ≤ a) ו- (a <X ≤ b) הם בלעדיים הדדית, יתר על כן, האיחוד שלהם הוא האירוע (X ≤ b), כך שיש לנו:

סוגים

התפלגות אחידה על נקודות n

נאמר כי משתנה X אקראי עוקב אחר התפלגות המאופיינת בכך שהוא אחיד בנקודות n אם לכל ערך מוקצה אותה הסתברות. פונקציית מסת ההסתברות שלו היא:

נניח שיש לנו ניסוי שיש לו שתי תוצאות אפשריות, זה יכול להיות השלכת מטבע שתוצאותיו האפשריות הן ראשים או זנבות, או בחירה של מספר שלם שהתוצאה שלו יכולה להיות מספר שווה או אי זוגי; ניסוי מסוג זה מכונה בדיקות ברנולי.

באופן כללי, שתי התוצאות האפשריות נקראות הצלחה וכישלון, כאשר p הוא ההסתברות להצלחה ו- 1-p הוא ההסתברות לכישלון. אנו יכולים לקבוע את ההסתברות של x הצלחות במבחני ברנולי n שאינם תלויים זה בזה עם התפוצה הבאה.

התפלגות הבינומית

הפונקציה היא זו שמייצגת את ההסתברות להשיג הצלחות x במבחני ברנולי עצמאיים, שההסתברות להצלחה היא p. פונקציית מסת ההסתברות שלו היא:

הגרף הבא מייצג את פונקציית מסת ההסתברות לערכים שונים של הפרמטרים של ההתפלגות הבינומית.

התפוצה הבאה חייבת את שמה למתמטיקאי הצרפתי שמעון פויסון (1781-1840), שהשיג אותו כמגבלת התפוצה הבינומית.

התפלגות פואסון

משתנה אקראי X אמור להיות בעל חלוקת פויסון של הפרמטר λ כאשר הוא יכול לקחת את ערכי המספרים השלמים החיוביים 0,1,2,3, … עם ההסתברות הבאה:

בביטוי זה λ הוא המספר הממוצע התואם להתרחשות האירוע עבור כל יחידת זמן, ו- x הוא מספר הפעמים שהאירוע מתרחש.

פונקציית מסת ההסתברות שלו היא:

להלן גרף המייצג את פונקציית מסת ההסתברות לערכים שונים של הפרמטרים של התפלגות פואסון.

שימו לב, כל עוד מספר ההצלחות נמוך ומספר הבדיקות המתבצעות בפיזור בינומי גבוה, אנו תמיד יכולים להתקרב להתפלגויות אלה, שכן התפלגות פואסון היא גבול ההתפלגות הבינומית.

ההבדל העיקרי בין שתי ההתפלגויות הללו הוא שלמרות שהבינומי תלוי בשני פרמטרים, כלומר n ו- p, הפויסון תלוי רק ב- λ, המכונה לעיתים עוצמת ההתפלגות.

עד כה דיברנו רק על התפלגות הסתברות למקרים בהם הניסויים השונים אינם תלויים זה בזה; כלומר, כאשר התוצאה של אחת אינה מושפעת מתוצאה אחרת.

כאשר מדובר במקרה של ביצוע ניסויים שאינם תלויים, ההתפלגות ההיפר-גיאומטרית שימושית מאוד.

התפלגות היפרגאומטרית

תן ל- N להיות המספר הכולל של האובייקטים של קבוצה סופית, מהם אנו יכולים לזהות k של אלה בדרך כלשהי, ובכך ליצור תת-קבוצה K, שהשלמה שלה נוצרת על ידי אלמנטים ה- Nk הנותרים.

אם אנו בוחרים באקראי n אובייקטים, המשתנה האקראי X המייצג את מספר האובייקטים השייכים ל- K בבחירה האמורה יש התפלגות היפר-גיאומטרית של הפרמטרים N, n ו- k. פונקציית מסת ההסתברות שלו היא:

הגרף הבא מייצג את פונקציית מסת ההסתברות לערכים שונים של הפרמטרים של ההתפלגות ההיפר-גיאומטרית.

תרגילים שנפתרו

תרגיל ראשון

נניח שההסתברות שפופרת רדיו (המונחת בסוג מסוים של ציוד) תפעל יותר מ- 500 שעות היא 0.2. אם נבדקים 20 צינורות, מהי ההסתברות ש- k בדיוק מאותם יפעלו יותר מ- 500 שעות, k = 0, 1,2, …, 20?

פִּתָרוֹן

אם X הוא מספר הצינורות שעובדים יותר מ -500 שעות, נניח של- X יש חלוקה בינומית. כך

וכך:

עבור k≥11, ההסתברות היא פחות מ- 0.001

כך אנו יכולים לראות כיצד ההסתברות ש- k של אלה עובדים יותר מ- 500 שעות, עד שהיא מגיעה לערכה המקסימלי (עם k = 4) ואז מתחילה לרדת.

תרגיל שני

מטבע מושלך 6 פעמים. כאשר התוצאה יקרה, נגיד שהיא הצלחה. מה ההסתברות ששני ראשים יעלו בדיוק?

פִּתָרוֹן

במקרה זה יש לנו כי n = 6 ושני ההסתברות להצלחה וכישלון הם p = q = 1/2

לכן ההסתברות שניתנים לשני ראשים (כלומר k = 2) היא

תרגיל שלישי

מה ההסתברות למצוא לפחות ארבעה ראשים?

פִּתָרוֹן

במקרה זה יש לנו כי k = 4, 5 או 6

תרגיל שלישי

נניח ש -2% מהפריטים המיוצרים במפעל אינם פגומים. מצא את ההסתברות P כי ישנם שלושה פריטים פגומים במדגם של 100 פריטים.

פִּתָרוֹן

במקרה זה נוכל להחיל את ההתפלגות הבינומית עבור n = 100 ו- p = 0.02 כתוצאה מכך:

עם זאת, מכיוון ש- p קטן, אנו משתמשים בקירוב פויסון עם λ = np = 2. כך,

הפניות

1. קאי לאי צ'ונג. תורת היכולת היסודית עם תהליכים סטוכסטיים. ספרינגר-ורלאג ניו יורק בע"מ
2. קנת ה. רוזן. מתמטיקה נפרדת ויישומיה. SAMCGRAW-היל / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. פול ל 'מאייר. הסתברות ויישומים סטטיסטיים. SA ALHAMBRA מקסיקנה.
4. ד"ר סימור ליפשוץ 2000 פתרו בעיות במתמטיקה בדידה. מקגרו היל.
5. ד"ר סימור ליפשוץ בעיות תיאוריה והסתברות. מקגרו היל.