מרחק אוקלידי: מושג, נוסחה, חישוב, דוגמה - מתמטיקה - 2025

מרחק אוקלידי הוא מספר חיובי המציין את ההפרדה בין שתי נקודות במרחב שבו האקסיומות והמשפטים של הגיאומטריה של אוקלידס מתקיימים.

המרחק בין שתי נקודות A ו- B במרחב אוקלידי הוא אורך הווקטור AB השייך לקו היחיד שעובר בנקודות אלה.

איור 1 . מרחב אוקלידיאני חד ממדי הנוצר על ידי הקו (OX). במרחב האמור מוצגות מספר נקודות, הקואורדינטות והמרחקים שלהן. (הוכן על ידי ריקרדו פרז).

המרחב שבני האדם תופסים ולאן אנו עוברים הוא מרחב תלת ממדי (תלת מימדי), בו מתגשמים האקסיומות והמשפטים בגיאומטריה של אוקליד. חלל תת-ממדי דו-ממדי (מישורים) ותתי-ממדי חד-ממדי (קווים) כלולים במרחב זה.

חללים אוקלידיים יכולים להיות חד ממדיים (1-D), דו-ממדיים (דו-ממדיים), תלת-ממדיים (3-D), או ממדיות (nD).

הנקודות במרחב X החד-ממדי הן נקודות השייכות לקו המכוון (OX), הכיוון מ- O ל- X הוא הכיוון החיובי. כדי לאתר את הנקודות בקו זה משתמשים במערכת הקרטזית, המורכבת מהקצאת מספר לכל נקודה בקו.

נוּסחָה

המרחק האוקלידיאני d (A, B) בין הנקודות A ו- B, הממוקם על קו, מוגדר כשורש הריבועי של ריבוע ההבדלים בקואורדינטות ה- X שלהם:

d (A, B) = √ ((XB - XA) ^ 2)

הגדרה זו מבטיחה כי: המרחק בין שתי נקודות הוא תמיד כמות חיובית. וכי המרחק בין A ל B שווה למרחק בין B ל A.

איור 1 מראה את החלל האוקלידידי החד-מימדי שנוצר על ידי הקו (OX) ומספר נקודות בקו האמור. לכל נקודה יש ​​קואורדינטה:

לנקודה A יש קואורדינטת XA = 2.5, נקודת B קואורדינטת XB = 4 ונקודה C קואורדינטת XC = -2.5

d (A, B) = √ ((4 - 2.5) 2) = 1.5

d (B, A) = √ ((2.5 - 4) 2) = 1.5

d (A, C) = √ ((- 2.5 - 2.5) 2) = 5.0

מרחק אוקלידי בשני ממדים

המרחב האוקלידידי הדו-ממדי הוא מישור. הנקודות של מישור אוקלידי ממלאות את האקסיומות של הגיאומטריה האוקלידית, למשל:

- קו בודד עובר בשתי נקודות.

- שלוש נקודות במטוס יוצרות משולש שהזוויות הפנימיות שלו מסתכמות תמיד ב- 180 מעלות.

- במשולש ימין, ריבוע התנוחה שווה לסכום המשבצות של רגליו.

בשני מימדים, לנקודה יש ​​קואורדינטות X ו- Y.

לדוגמה לנקודה P יש קואורדינטות (XP, YP) ​​ונקודת קואורדינטות Q (XQ, YQ).

המרחק האוקלידי בין נקודה P ל- Q מוגדר עם הנוסחה הבאה:

d (P, Q) = √ ((XQ - XP) ^ 2 + (YQ - YP) ^ 2)

יש לציין כי נוסחה זו שקולה למשפט הפיתגורס, כפי שמוצג באיור 2.

איור 2. המרחק בין שתי נקודות P ו- Q במישור מקיים את משפט הפיתגורס. (הוכן על ידי ריקרדו פרז).

משטחים לא אוקלידיים

לא כל החללים הדו-ממדיים תואמים את הגיאומטריה האוקלידית. פני הכדור הם חלל דו ממדי.

זוויות המשולש על משטח כדורי אינן מסתכמות ב -180 מעלות ועם זה לא מתקיים משפט פיתגורס, לכן משטח כדורי אינו ממלא את האקסיומות של אוקליד.

מרחק אוקלידי בממדים n

ניתן להרחיב את מושג הקואורדינטות לממדים גדולים יותר:

- בנקודה דו-ממדית P יש קואורדינטות (XP, YP)

- בתלת מימד לנקודה Q יש קואורדינטות (XQ, YQ, ZQ)

- ב- 4-D לנקודה R יהיו קואורדינטות (XR, YR, ZR, WR)

- ב- n לנקודה P יהיו קואורדינטות (P1, P2, P3,… .., Pn)

המרחק בין שתי נקודות P ו- Q של חלל אוקלידי ממדי n מחושב באמצעות הנוסחה הבאה:

d (P, Q) = √ ((Q1 - P1) ^ 2 + (Q2 - P2) ^ 2 + …… .. + (Qn - Pn) ^ 2)

המיקום של כל הנקודות Q במרחב אוקלידיאני ממדי n שווה מנקודה קבועה אחרת P (המרכז) יוצר היפרספרה ממדית n.

כיצד לחשב את המרחק האוקלידי

להלן מראה כיצד מחושב המרחק בין שתי נקודות הממוקמות במרחב התלת ממדי האוקלידי.

נניח שנקודה A של הקואורדינטות הקרטזיות x, y, z שניתנה על ידי A :( 2, 3, 1) ונקודה B של הקואורדינטות B :( -3, 2, 2).

אנו רוצים לקבוע את המרחק בין נקודות אלה, אשר עבורם נעשה שימוש בקשר הכללי:

d (A, B) = √ ((-3 - 2) 2 + (2 - 3) 2 + (2 - 1) 2) = √ ((-5) 2 + (-1) 2 + (1) 2 )

d (A, B) = √ (25 + 1 + 1) = √ (27) = √ (9 * 3) = 3 √ (3) = 5,196

דוגמא

ישנן שתי נקודות P ו- Q. הנקודה P של קואורדינטות קרטזיה x, y, z שניתנה על ידי P :( 2, 3, 1) ונקודת Q של הקואורדינטות Q :( -3, 2, 1).

הוא מתבקש למצוא את הקואורדינטות של נקודת האמצע M של הקטע המחבר בין שתי הנקודות.

לנקודה M הלא ידועה יש קואורדינטות (X, Y, Z).

מכיוון ש- M הוא נקודת האמצע של, זה חייב להיות נכון ש- d (P, M) = d (Q, M), ולכן d (P, M) ^ 2 = d (Q, M) ^ 2 חייב להיות גם נכון:

(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2 = (X - (-3)) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2

כמו במקרה זה, המונח השלישי שווה בשני החברים, הביטוי הקודם מפשט ל:

(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 = (X + 3) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2

לאחר מכן יש לנו משוואה עם שני אלמונים X ו- Y. משוואה נוספת נדרשת כדי לפתור את הבעיה.

נקודה M שייכת לקו שעובר בנקודות P ו- Q, אותו אנו יכולים לחשב כדלקמן:

ראשית אנו מוצאים את וקטור הבמאי PQ של הקו: PQ = <-3-2, 2-3, 1-1> = <-5, -1, 0>.

ואז PM = OP + a PQ , כאשר OP הוא וקטור המיקום של הנקודה P והוא פרמטר השייך למספרים האמיתיים.

המשוואה לעיל ידועה כמשוואת הווקטור של הקו, שבקואורדינטות הקרטזיות לובשות את הצורה הבאה:

<X-2, Y-3, Z-1> = <2, 3, 1> + a <-5, -1, 0> = <2 - 5a, 3 - a, 0>

בהשוואת הרכיבים המתאימים שיש לנו:

X - 2 = 2-5 א; Y - 3 = 3 -a; Z - 1 = 0

כלומר X = 4 - 5a, Y = 6 - a, סוף סוף Z = 1.

זה מוחלף בביטוי הריבועי המתייחס X ל- Y:

(4 - 5 א - 2) ^ 2 + (6 - א - 3) ^ 2 = (4 - 5 א + 3) ^ 2 + (6 - א - 2) ^ 2

זה מפשט:

(2 - 5 א) ^ 2 + (3-א) ^ 2 = (7 - 5 א) ^ 2 + (4 - א) ^ 2

כעת נפתח:

4 + 25 a ^ 2 - 20a + 9 + a ^ 2 - 6a = 49 + 25 a ^ 2 - 70a + 16 + a ^ 2 - 8a

זה מפושט, מבטל מונחים כמו בשני החברים:

4 - 20 א + 9 - 6 א = 49 - 70 א + 16 - 8 א

הפרמטר a מנוקה:

52 א = 49 + 16 - 4 - 9 = 52 וכתוצאה מכך א = 1.

כלומר, X = 4 - 5, Y = 6 - 1, סוף סוף Z = 1.

לבסוף אנו משיגים את הקואורדינטות הקרטזיות של נקודת האמצע M של הקטע:

M: (-1, 5, 1).

הפניות

1. להמן C. (1972) גיאומטריה אנליטית. UTEHA.
2. סופר-פרופ. מרחק בין שתי נקודות. התאושש מ: superprof.es
3. UNAM. המרחק בין סעפים תת-קרקעיים שליד. התאושש מ: prometeo.matem.unam.mx/
4. ויקיפדיה. מרחק אוקלידי. התאושש מ: es.wikipedia.com
5. ויקיפדיה. מרחב אוקלידי. התאושש מ: es.wikipedia.com