הבדל של קוביות: נוסחאות, משוואות, דוגמאות, תרגילים - מתמטיקה - 2025

ההבדל של קוביות הוא ביטוי אלגברי הבינומית של הטפסים לא תהיה ³ - ב ³ , שבו התנאים A ו- B יכולים להיות מספרים ממשיים או ביטויים אלגבריים מסוגים שונים. דוגמה להבדל של קוביות היא: 8 - x ³ , מכיוון שניתן לכתוב 8 כ- 2 ³ .

מבחינה גיאומטרית אנו יכולים לחשוב על קוביה גדולה, עם צלע א ', ממנה מופחתת הקוביה הקטנה עם הצד b, כפי שמודגם באיור 1:

איור 1. הפרש של קוביות. מקור: פ. זפטה.

נפח הנתון המתקבל הוא בדיוק הבדל של קוביות:

V = a ³ - b ³

כדי למצוא ביטוי חלופי, ניתן לראות כי ניתן לפרק נתון זה לשלוש מנסרות, כמוצג להלן:

איור 2. הפרש הקוביות (משמאל לשוויון) שווה לסכום הנפחים החלקיים (מימין). מקור: פ. זפטה.

לפריזמה יש נפח שניתן על ידי המוצר בשלושת הממדים שלו: רוחב x גובה x עומק. בדרך זו הנפח המתקבל הוא:

V = a ³ - b ³ = a ² .b + b ³ + ab ²

גורם b משותף לימין. יתר על כן, באיור המוצג לעיל, נכון במיוחד כי:

b = (a / 2) ⇒ a = b + b

לכן ניתן לומר כי: b = a - b. לכן:

דרך זו לבטא את ההבדל בין קוביות תתגלה כמועילה מאוד ביישומים רבים והייתה מתקבלת באותה צורה, גם אם הצד של הקוביה החסרה בפינה היה שונה מ- b = a / 2.

שים לב שהסוגריים השנייה דומים מאוד לתוצר הבולט של ריבוע הסכום, אך המונח הצלב אינו מוכפל ב -2. הקורא יכול להרחיב את הצד הימני כדי לוודא שאכן מתקבל ³ - b ³ .

דוגמאות

ישנם מספר הבדלים של קוביות:

1 - מ ' ⁶

a ⁶ b ³ - 8z ¹² ו- ⁶

(1/125) .x ⁶ - 27.y ⁹

בואו ננתח כל אחד מהם. בדוגמה הראשונה ניתן לכתוב את ה -1 כ 1 = 1 ³ והמונח m ⁶ הופך: (m ² ) ³ . שני המונחים הם קוביות מושלמות, ולכן ההבדל שלהם הוא:

1 - מ ⁶ = 1 ³ - (מ ² ) ³

בדוגמה השנייה המונחים נכתבים מחדש:

a ⁶ b ³ = (a ² b) ³

8z ¹² y ⁶ = 2 ³ (z ⁴ ) ³ (y ² ) ³ = (2z ⁴ y ² ) ³

ההבדל בין קוביות אלה הוא: (a ² ב) ³ - (2z ⁴ y ² ) ³ .

לבסוף, החלק (1/125) הוא (1/5 ³ ), x ⁶ = (x ² ) ³ , 27 = 3 ^3, ו- y ⁹ = (y ³ ) ³ . תחליף את כל זה בביטוי המקורי, אתה מקבל:

(1/125) .x ⁶ - 27y ⁹ = ³ - (3y ³ ) ³

עובדת על הבדל של קוביות

איתור הפרש הקוביות מפשט פעולות אלגבריות רבות. לשם כך, פשוט השתמש בנוסחה שהוסקה למעלה:

איור 3. איורורציה של ההבדל בין קוביות וביטוי של כמות מדהימה. מקור: פ. זפטה.

כעת, הנוהל להחלת נוסחה זו מורכב משלושה שלבים:

- מלכתחילה מתקבל שורש הקוביה של כל אחד מתנאי ההבדל.

- ואז הבנום והטרינוליום המופיעים בצד ימין של הנוסחה בנויים.

- לבסוף מוחלפים הבינומיום והטרינוליום כדי לקבל את הגורם הסופי.

בואו נדגים את השימוש בצעדים אלה בכל אחת מדוגמאות ההבדל בין הקוביות המוצעות לעיל וכך נקבל את המקבילה המובנית שלה.

דוגמא 1

בצע את הביטוי 1 - m ⁶ בעקבות השלבים המתוארים. אנו מתחילים בשכתב את הביטוי כ- 1 m ⁶ = 1 ³ - (m ² ) ³ כדי לחלץ את שורשי הקוביה בהתאמה של כל מונח:

בשלב הבא בנויים הבינומיום והטרינוליום:

a = 1

b = m ²

כך:

a - b = 1 - m ²

(a ² + ab + b ² ) = 1 ² + 1.m ² + (m ² ) ² = 1 + m ² + m ⁴

לבסוף, הוא מחליף בנוסחה a ³ - b ³ = (ab) (a ² + ab + b ² ):

1 - m ⁶ = (1 - m ² ) (1 + m ² + m ⁴ )

דוגמא 2

פקטוריזציה:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b) ³ - (2z ⁴ y ² ) ³

מכיוון שמדובר בקוביות מושלמות, שורשי הקוביה הם מיידיים: ² b ו- 2z ⁴ ו- ² , ומכאן יוצא כי:

- Binomial: a ² b - 2z ⁴ ו- ²

- טרינומיאל: (a ² b) ² + a ² b. 2z ⁴ y ² + (a ² b + 2z ⁴ y ² ) ²

ועכשיו נבנה הגורם הרצוי:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b - 2z ⁴ y ² ). =

= (a ² b - 2z ⁴ y ² ).

הפקטורינג מוכן באופן עקרוני, אך לעיתים קרובות יש צורך לפשט כל מונח. ואז המוצר המופלא - ריבוע של סכום - שמופיע בסוף מתפתח ואז מתווספים מונחים דומים. לזכור כי ריבוע הסכום הוא:

המוצר הבולט מימין מפותח כך:

(a ² b + 2z ⁴ ו- ² ) ² = a ⁴ b ² + 4a ² b.z ⁴ ו- ² + 4z ⁸ ו- ⁴

החלפת הרחבה שהתקבלה בפקטורציה של הפרש הקוביות:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b - 2z ⁴ y ² ). =

לסיום, קיבוץ מונחים כמו פקטורציה של מקדמים מספריים, שהם כולם שווים, אנו משיגים:

(a ² b - 2z ⁴ y ² ). = 2 (a ² b - 2z ⁴ y ² ).

דוגמא 3

פקטורינג (1/125) x ⁶ - 27y ⁹ הרבה יותר קל מהמקרה הקודם. ראשית מזוהים המקבילות של a ו- b:

a = (1/5) x ²

b = 3y ³

ואז הם מוחלפים ישירות בנוסחה:

(1/125) .x ⁶ - 27y ⁹ =.

התרגיל נפתר

להבדל הקוביות יש, כאמור, מגוון יישומים באלגברה. בוא נראה כמה:

תרגיל 1

לפתור את המשוואות הבאות:

א) x ⁵ - 125 x ² = 0

ב) 64 - 729 x ³ = 0

פתרון ל

ראשית המשוואה נובעת באופן זה:

x ² (x ³ - 125) = 0

מכיוון ש- 125 היא קוביה מושלמת, הסוגריים כתובים כהבדל של קוביות:

x ² . (x ³ - 5 ³ ) = 0

הפיתרון הראשון הוא x = 0, אך אנו מוצאים יותר אם נעשה x ³ - 5 ³ = 0, ואז:

x ³ = 5 ³ → x = 5

פיתרון ב

הצד השמאלי של המשוואה נכתב מחדש כ 64 - 729 x ³ = 4 ³ - (9x) ³ . לכן:

4 ³ - (9X) ³ = 0

מכיוון שהמפתח הוא זהה:

9x = 4 → x = 9/4

תרגיל 2

גורם לביטוי:

(x + y) ³ - (x - y) ³

פִּתָרוֹן

ביטוי זה הוא הבדל של קוביות, אם בנוסחת הפקטורינג נציין כי:

a = x + y

b = x- y

ואז הבינומיה בנויה תחילה:

a - b = x + y - (x- y) = 2y

ועכשיו הטרינום:

a ² + ab + b ² = (x + y) ² + (x + y) (xy) + (xy) ²

מוצרים בולטים מפותחים:

הבא אתה צריך להחליף ולהקטין תנאים דומים:

a ² + ab + b ² = x ² + 2xy + y ² + x ² - y ² + x ² - 2xy + y ² = 3x ² + y ²

התוצאה גורמת ל:

(x + y) ³ - (x - y) ³ = 2y. (3x ² + y ² )

הפניות

1. Baldor, A. 1974. אלגברה. עריכה תרבותית Venezolana SA
2. קרן CK-12. סכום והבדל של קוביות. התאושש מ: ck12.org.
3. האקדמיה לחאן. פקטורציה של הבדלי קוביות. התאושש מ: es.khanacademy.org.
4. מתמטיקה היא כיף מתקדם. הבדל של שתי קוביות. התאושש מ: mathsisfun.com
5. UNAM. עובדת על הבדל של קוביות. התאושש מ: dcb.fi-c.unam.mx.