קוטר: סמלים ונוסחאות, איך להשיג את זה, היקף - מתמטיקה - 2025

בקוטר הוא קו ישר שעובר דרך מרכז עקום שטוח סגורה או דמות בממדים שתיים או שלוש וזה גם מצטרף נקודות והיפוכו. לרוב מדובר במעגל (עקומה שטוחה), מעגל (דמות שטוחה), כדור או גליל עגול ימני (חפצים תלת מימדיים).

למרות שלרוב נראים היקפים ומעגלים כשמות נרדפים, אך יש הבדל בין שני המונחים. ההיקף הוא העקומה הסגורה הסוגרת את המעגל, העונה על תנאי שהמרחק בין אחת מנקודותיו והמרכז זהה. המרחק הזה הוא לא אחר מאשר רדיוס ההיקף. במקום זאת, המעגל הוא דמות שטוחה הגובלת בהיקף.

איור 1. קוטר גלגלי האופניים הוא תכונה חשובה בעיצובם. מקור: Pixabay.

במקרה של היקף, עיגול וכדור, הקוטר הוא קטע ישר המכיל לפחות שלוש נקודות: המרכז פלוס שתי נקודות מקצה ההיקף או המעגל, או פני השטח של הכדור.

ובאשר לצילינדר המעגלי הימני, הקוטר מתייחס לחתך הרוחב, שביחד עם הגובה, הם שני הפרמטרים האופייניים לו.

קוטר ההיקף והעיגול, המסומלים על ידי ø או פשוט האות "D" או "d", קשורים להיקף, קווי המתאר או האורך שלו, המסומנים על ידי האות L:

L = π.D = π. אוֹ

בכל פעם שיש היקף, המניין בין אורכו לקוטרו הוא המספר הלא הגיוני π = 3.14159 …, באופן זה:

π = L / D

איך משיגים את הקוטר?

כשיש לך את ציור ההיקף או המעגל, או ישירות את האובייקט המעגלי, כמו מטבע או טבעת למשל, קל מאוד למצוא את הקוטר עם סרגל. עליכם רק לוודא ששולי הסרגל נוגעים בשתי נקודות בהיקף ובמרכזו בו זמנית.

קליפר, vernier או caliper מתאים מאוד למדידת קוטרים חיצוניים ופנימיים על מטבעות, חישוקים, טבעות, אגוזים, צינורות ועוד.

איור 2. תרשים דיגיטלי מודד את קוטרו של מטבע. מקור: Pixabay.

אם במקום האובייקט או הרישום שלו יש לנו נתונים כמו רדיוס R, אז כפול 2 יש לנו הקוטר. ואם ידוע אורך או היקף ההיקף, אפשר לדעת את הקוטר גם על ידי ניקוי:

דרך נוספת למצוא את הקוטר היא על ידי הכרת שטח המעגל, המשטח הכדורי, חתך הצילינדר, אזור המעוגל של הצילינדר, או נפחי הכדור או הגליל. הכל תלוי באיזו דמות גיאומטרית מדובר. לדוגמה, קוטר מעורב באזורים ונפחים הבאים:

-מעגל המעגל : π. (D / 2) ²
-rearea של המשטח הכדורי : 4π. (D / 2) ^2-
נפח הכדור : (4/3) π. (D / 2) ^3-
נפח של הכדור צילינדר עגול ימני : π. (D / 2) ² .H (H הוא גובה הצילינדר)

דמויות רוחב קבוע

המעגל הוא דמות שטוחה בעלת רוחב קבוע, מכיוון שבכל מקום שלא מסתכלים עליו, הרוחב הוא הקוטר D. עם זאת, ישנן דמויות אחרות אולי פחות ידועות שגם הרוחב שלהן קבוע.

ראשית, בואו נראה מה מובן ברוחב של דמות: זהו המרחק בין שני קווים מקבילים - קווי תמיכה - אשר בתורם בניצב לכיוון הנתון ואשר כלואים את הדמות, כפי שמוצג בתמונה השמאלית:

איור 3. רוחב של כל דמות שטוחה (משמאל) ומשולש Reuleaux, דמות ברוחב קבוע (מימין). מקור: פ. זפטה.

בצד ימין נמצא משולש Reuleaux, שהוא נתון ברוחב קבוע ועומד בתנאי שצוין בתמונה השמאלית. אם רוחב הדמות הוא D, ההיקף שלה ניתן על ידי משפט ברבייר:

L = π.D

הביוב של העיר סן פרנסיסקו בקליפורניה מעוצבים כמשולש Reuleaux, על שמו של המהנדס הגרמני Franz Reuleaux (1829 - 1905). בדרך זו העפעפיים לא יכולים ליפול דרך החור ופחות חומר משמש לייצורם, מכיוון ששטחם פחות מזה של המעגל:

A = (1- √3) .πD ² = 0.705.D ²

בעוד למעגל:

A = π. (D / 2) ² = (π / 4) D ² = 0.785. D ²

אבל המשולש הזה אינו הנתון היחיד ברוחב קבוע. אתה יכול לבנות את מה שמכונה מצולע Reuleaux עם מצולעים אחרים שיש להם מספר אי זוגי של צדדים.

קוטר היקף

באיור הבא מופיעים יסודות המעגל, המוגדרים כך:

אקורד : קטע קו המצטרף לשתי נקודות בהיקף. באיור הוא האקורד שמצטרף לנקודות C ו- D, אך ניתן לצייר אקורדים אינסופיים המצטרפים לכל זוג נקודות על ההיקף.

קוטר : זהו האקורד שעובר במרכזו, המצטרף לשתי נקודות היקף למרכז O. זהו האקורד הארוך ביותר של היקף, מסיבה זו הוא מכונה "האקורד העיקרי".

רדיוס : קטע קו המצטרף למרכז עם כל נקודה על ההיקף. ערכו, כמו הקוטר, קבוע.

היקף : זהו הסט של כל הנקודות שוות ערך מה- O.

קשת : זה מוגדר כקטע היקף שתוחם על ידי שני רדיוסים (לא מצוירים באיור).

איור 4. חלקים מההיקף, כולל הקוטר, העוברים במרכז. מקור: Wikimedia Commons.

- דוגמה 1

המלבן שמוצג גובהו 10 אינץ ', שכשמגלגלים אותו נוצר גליל עגול ימני שקוטרו 5 אינץ'. ענה על השאלות הבאות:

איור 5. מלבן מגולגל הופך לצילינדר מעגלי ימני. מקור: Jiménez, R. מתמטיקה II. גיאומטריה וטריגונומטריה. 2. מַהֲדוּרָה. פירסון.

א) מה מתאר הצינור?
ב) מצא את שטח המלבן
.ג מצא את שטח חתך הגליל.

פתרון ל

מתאר הצינור הוא L = π.D = 5π ב = 15.71 אינץ '.

פיתרון ב

שטח המלבן הוא גובה x בסיס, כאשר הבסיס L כבר מחושב והגובה הוא 10 אינץ 'על פי ההצהרה, לפיכך:

A = 15.71 ב- 10 x = 157.1 ב ^-2 .

פיתרון ג

לבסוף, האזור המבוקש מחושב כך:

A = π. (D / 2) ² = (π / 4) D ² = (π / 4) x (5 in) ² = 19.63 ב- ² .

- דוגמא 2

חשב את השטח המוצל באיור 5 א. לכיכר צד ל.

איור 6. מצא את האזור המוצל בתמונה השמאלית. Jiménez, R. מתמטיקה II. גיאומטריה וטריגונומטריה. 2. מַהֲדוּרָה. פירסון.

פִּתָרוֹן

באיור 5b שורטטו שני עיגולים חצי-מידיים זהים בוורוד וכחול, מונחים על הדמות המקורית. ביניהם הם יוצרים מעגל שלם. אם אתה מוצא את שטח הריבוע ומחסר את שטח המעגל, אתה מבצע את האזור המוצל באיור 5b. ובמבט מקרוב מתברר שהוא מחצית השטח המוצל ב 5 א.

-שטח מרובע : L ²
-דימטר של חצי מעגל: L-
קרקע של המעגל: π. (L / 2) ² = (π / 4) L ^2-
הבדלה של אזורים = חצי מהשטח המוצל =

L ² - (π / 4) L ² = L ² = 0.2146 L ²

שטח מוצל = 2 x 0.2146 L ² = 0.4292L2

כמה קוטרים יש בהיקף?

ניתן לצייר קוטר אינסופי על מעגל, וכל אחד מהם נמדד זהה.

הפניות

1. אנטוניו. משולשי ראולו ועקומות רוחב קבוע אחרות. התאושש מ: divulgators.com.
2. Baldor, A. 2002. גיאומטריה של שטח וחלל וטריגונומטריה. קבוצת תרבות פטריה.
3. Jiménez, R. מתמטיקה II. גיאומטריה וטריגונומטריה. 2. מַהֲדוּרָה. פירסון.
4. ויקיפדיה. משולש Reuleaux. התאושש מ: es.wikipedia.org.
5. וולפרם MathWorld. קוֹטֶר. התאושש מ: mathworld.wolfram.com.