אי שוויון במשולש: הוכחה, דוגמאות, תרגילים שנפתרו - מתמטיקה - 2025

זה נקרא מאפיין משולש לא שוויוני העונה על שני מספרים אמיתיים המורכבים מהערך המוחלט של הסכום שלהם הוא תמיד פחות או שווה לסכום הערכים המוחלטים שלהם. נכס זה ידוע גם כאי-השוויון של מינקובסקי או אי-השוויון המשולש.

תכונה זו של מספרים נקראת אי-שוויון משולש מכיוון שבמשולשים זה קורה שאורך צד אחד תמיד פחות או שווה לסכום של שני האחרים, למרות שאי-שוויון זה לא תמיד חל בתחום המשולשים.

איור 1. הערך המוחלט של הסכום של שני מספרים תמיד פחות או שווה לסכום הערכים המוחלטים שלהם. (הוכן על ידי ר 'פרז)

ישנן מספר הוכחות לחוסר השוויון המשולש במספרים אמיתיים, אך במקרה זה אנו נבחר אחת המבוססת על תכונות הערך המוחלט והריבוע הבינומי.

משפט: עבור כל זוג מספרים a ו- b השייך למספרים האמיתיים שיש לנו:

- a + b - ≤ - a - + - b -

הפגנה

אנו מתחילים בבחינת החבר הראשון באי-השוויון, אשר יהיה בריבוע:

- a + b - ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 ab + b ^ 2 (משווה 1)

בשלב הקודם השתמשנו במאפיין שכל מספר בריבוע שווה לערך המוחלט של המספר הריבוע האמור, כלומר: -x- ^ 2 = x ^ 2. כן נעשה שימוש בהרחבה הבינומית המרובעת.

כל מספר x פחות או שווה לערכו המוחלט. אם המספר חיובי הוא שווה, אבל אם המספר שלילי הוא תמיד יהיה פחות ממספר חיובי. במקרה זה הערך המוחלט שלה, כלומר ניתן לומר כי x ≤ - x -.

המוצר (ab) הוא מספר, ולכן הוא חל על כך (ab) ≤ - ab -. כאשר נכס זה מוחל על (משווה 1) יש לנו:

- a + b - ^ 2 = a ^ 2 + 2 (ab) + b ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - ab - + b ^ 2 (מקור 2)

אם לוקחים בחשבון ש- ab - = - a - b - la (משווה 2) ניתן לכתוב כך:

- a + b - ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - a - b - + b ^ 2 (משווה 3)

אך מכיוון שאמרנו קודם כי ריבוע המספר שווה לערך המוחלט של המספר בריבוע, אז ניתן לכתוב מחדש את המשוואה 3 באופן הבא:

- a + b - ^ 2 ≤ -a- ^ 2 + 2 -a- -b- + -b- ^ 2 (משווה 4)

בחבר השני באי-השוויון, מוכר מוצר יוצא דופן, שכאשר מיישם אותו מוביל ל:

- a + b - ^ 2 ≤ (-a- + -b -) ^ 2 (משווה 5)

בביטוי הקודם יש לציין כי הערכים שיש לריבוע בשני חברי אי השוויון הם חיוביים, ולכן צריך להיות משוכנעים כי:

- a + b - ≤ (-a- + -b-) (משווה 6)

הביטוי הקודם הוא בדיוק מה שרצית להפגין.

דוגמאות

בשלב הבא נבדוק את אי השוויון המשולש עם מספר דוגמאות.

דוגמא 1

אנו לוקחים את הערך a = 2 והערך b = 5, כלומר שני המספרים החיוביים ואנחנו בודקים אם אי השוויון מרוצה או לא.

- 2 + 5 - ≤ -2- + -5-

- 7 - ≤ -2- + -5-

7 ≤ 2+ 5

מאומתים את השוויון, ולכן הושלם משפט אי השוויון במשולש.

דוגמא 2

הערכים הבאים a = 2 ו- b = -5 נבחרים, כלומר מספר חיובי והשני שלילי, אנו בודקים אם אי השוויון מרוצה או לא.

- 2 - 5 - ≤ -2- + --5-

- -3 - ≤ -2- + --5-

3 ≤ 2 + 5

אי השוויון מרוצה, ולכן אומת משפט אי השוויון המשולש.

דוגמא 3

אנו לוקחים את הערך a = -2 והערך b = 5, כלומר מספר שלילי והשני חיובי, אנו בודקים אם אי השוויון מרוצה או לא.

- -2 + 5 - ≤ --2- + -5-

- 3 - ≤ --2- + -5-

3 ≤ 2 + 5

אי-השוויון אומת, ולכן התגשם המשפט.

דוגמא 4

הערכים הבאים a = -2 ו- b = -5 נבחרים, כלומר שני המספרים השליליים ואנחנו בודקים אם אי השוויון מרוצה או לא.

- -2 - 5 - ≤ --2- + --5-

- -7 - ≤ --2- + --5-

7 ≤ 2+ 5

מאומתים את השוויון, לכן התגשם משפט אי השוויון של מינקובסקי.

דוגמא 5

אנו לוקחים את הערך a = 0 והערך b = 5, כלומר מספר אפס והשני חיובי, ואז אנו בודקים אם אי השוויון מרוצה או לא.

- 0 + 5 - ≤ -0- + -5-

- 5 - ≤ -0- + -5-

5 ≤ 0+ 5

השוויון מתקיים, ולכן אומת משפט אי השוויון במשולש.

דוגמא 6

אנו לוקחים את הערך a = 0 והערך b = -7, כלומר מספר אפס והשני חיובי, ואז אנו בודקים אם אי השוויון מרוצה או לא.

- 0 - 7 - ≤ -0- + --7-

- -7 - ≤ -0- + --7-

7 ≤ 0+ 7

מאומתים את השוויון, לכן התגשם משפט אי השוויון המשולש.

תרגילים שנפתרו

בתרגילים הבאים ייצג גיאומטרית את אי-השוויון במשולש או את אי-השוויון של מינקובסקי עבור המספרים a ו- b.

המספר a יוצג כקטע ב ציר ה- X, מקורו O עולה בקנה אחד עם האפס של ציר ה- X והקצה השני של הקטע (בנקודה P) יהיה בכיוון החיובי (מימין) של ציר ה- X אם > 0, אך אם a <0 זה יהיה לכיוון השלילי של ציר ה- X, כמה יחידות כפי שעולה הערך המוחלט.

באופן דומה, המספר b יוצג כקטע שמקורו בנקודה P. הקיצון האחר, כלומר נקודה Q יהיה מימין ל- P אם b חיובי (b> 0) ונקודה Q תהיה -b - יחידות משמאל ל P אם b <0.

תרגיל 1

תרשים את אי השוויון של המשולש עבור a = 5 ו- b = 3 - a + b - ≤ - a - + - b -, כאשר c = a + b.

תרגיל 2

תרשים את אי השוויון המשולש עבור a = 5 ו- b = -3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, כאשר c = a + b.

תרגיל 3

מבחינה גרפית מראים את אי השוויון במשולש עבור a = -5 ו- b = 3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, כאשר c = a + b.

תרגיל 4

בנה באופן גרפי את אי השוויון המשולש עבור a = -5 ו- b = -3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, כאשר c = a + b.

הפניות

1. א. וויטסיט. (1980). האלגברה הבוליאנית ויישומיה. חברת העריכה קונטיננטל קליפורניה
2. Mícheál O 'Searcoid. (2003) אלמנטים של ניתוח מופשט. . החוג למתמטיקה. מכללת האוניברסיטה דבלין, בלדפילד, דבלינד.
3. ג 'ואן וויק. (2006) מתמטיקה והנדסה במדעי המחשב. המכון למדעי המחשב וטכנולוגיה. הלשכה הלאומית לתקנים. וושינגטון די.סי. 20234
4. אריק להמן. מתמטיקה למדעי המחשב. גוגל בע"מ
5. F תומסון לייטון (1980). חֶשְׁבּוֹן. המחלקה למתמטיקה ומדעי המחשב ומעבדת AI, מכון massachussetts לטכנולוגיה.
6. האקדמיה לחאן. משפט אי השוויון במשולש. התאושש מ: khanacademy.org
7. ויקיפדיה. אי שוויון משולש. התאושש מ: es. wikipedia.com