נגזרות מרומזות: כיצד נפתרות התרגילים ונפתרות - מתמטיקה - 2025

נגזרים מרומזת הם כלים המשמשים בטכניקת פרש להחיל פונקציות. הם מיושמים כאשר לא ניתן, בשיטות רגילות, לפתור את המשתנה התלוי שייגזר. אישור זה מתבצע כפונקציה של המשתנה הבלתי תלוי.

לדוגמה, בביטוי 3xy ³ - 2y + xy ² = xy, לא ניתן להשיג את הביטוי המגדיר "y" כפונקציה של "x". כך שעל ידי נגזרת הביטוי הדיפרנציאלי ניתן להשיג dy / dx.

כיצד נפתרות נגזרות מרומזות?

כדי לפתור נגזרת מרומזת, אנו מתחילים בביטוי מרומז. לדוגמה: 3xy ³ - 2y + xy ² - xy = 0. זה כבר נפתר כראוי, אולם פעולה זו אינה תנאי הכרחי להשגת הנגזרת של y ביחס ל- x. לאחר מכן, כל אחד מהיסודות נגזר בכבוד לכלל השרשרת עבור פונקציות מעורבות:

3xy ³ מורכב משני משתנים, ולכן d (3xy ³ ) יטופלו כנגזרת של מוצר של פונקציות.

d (3xy ³ ) / dx = 3y ³ + 3y ^2. (3x) y '= 3y ³ + 9xy ² y'

כאשר היסוד y 'ידוע בשם "y prime" ומייצג dy / dx

-2y זה נגזר על פי החוק KU = K.U '

d (-2y) = -2 y '

xy ² מניח דיפרנציאל נוסף שמורכב על ידי מוצר של פונקציות

d (xy ² ) = y ² + 2xy y '

-מקסימום מטופל בהומולוגיה

d (-xy) = -y - x y '

הם מוחלפים בשוויון, בידיעה שהנגזרת של אפס היא אפס.

3y ³ + 9xy ² y '- 2 y' + y ² + 2xy y '- y - x y' = 0

האלמנטים שיש להם את המונח y 'מקובצים בצד אחד של השוויון

3y ³ + y ² - y = -9xy ² y '+ 2 y' + x y '

הגורם השכיח y 'מופק מהצד הימני של השוויון

3y ³ + y ² - y = y '(-9xy ² + x + 2)

סוף סוף המונח שמכפיל את y מוחל. וכך השגת הביטוי המתאים לנגזרת המשתמעת של y ביחס ל- x.

y '= dy / dx = (3y ³ + y ² - y) / (- 9xy ² + x + 2)

כלל שרשרת

בגזירה משתמעת תמיד מכבדים את כלל השרשרת. כל הביטויים הדיפרנציאליים יינתנו כפונקציה של המשתנה X העצמאי. לכן כל משתנה θ שאינו X, חייב לכלול את המונח dθ / dx לאחר הנגזרות.

מונח זה יופיע רק בתואר הראשון או עם אקספקטנט שווה ל 1. איכות זו מבהירה לחלוטין בשיטות פקטורינג מסורתיות. כך ניתן להשיג את הביטוי המגדיר את ההפרש dθ / dx.

כלל השרשרת מראה את האופי הפרוגרסיבי של ההבחנה או הנגזרת. איפה שלכל פונקציה מורכבת f, יש לנו שהביטוי הדיפרנציאלי של f יהיה

סדר מבצעי

בכל נוסחה או חוק נגזר המיושם יש לקחת בחשבון את סדר המשתנים. הקריטריונים המשויכים למשתנה הבלתי תלוי מכבדים, מבלי לשנות את המתאם שלו עם המשתנה התלוי.

הקשר של המשתנה התלוי בזמן הנגזרת נלקח ישירות; למעט שזה ייחשב כפונקציה שנייה, וזו הסיבה להחלת הקריטריון של כלל השרשרת לפונקציות מעורבות.

ניתן לפתח זאת בביטויים עם יותר משני משתנים. על פי אותם עקרונות יצוינו כל ההפרשים המתייחסים למשתנים התלויים.

מבחינה גרפית מטפלים באותו קריטריון המגדיר את הנגזרת. בעוד הנגזרת היא שיפוע קו המשיק לעיקול במישור, שאר ההפרשים השייכים למשתנים התלויים (dy / dx, dz / dx) מייצגים מישורים משיקים לגופי הווקטור המתוארים על ידי הפונקציות המשתנות המרובות.

משתמע

אומרים שפונקציה מוגדרת באופן מרומז אם ניתן לייצג את הביטוי y = f (x) כפונקציה משתנה מרובה F (x, y) = 0 כל עוד F מוגדר במישור R ² .

3xy ³ - 2y + xy ² = xy ניתן לכתוב בצורה 3xy ³ - 2y + xy ² - xy = 0

לאור אי-האפשרות להבהיר את הפונקציה y = f (x).

הִיסטוֹרִיָה

את החישוב ההפרש החלו לקרוא על ידי חוקרים מתמטיים שונים סביב המאה השבע עשרה. הפעם הראשונה שהוזכרה הייתה באמצעות התרומות של ניוטון ולייבניץ. שניהם התייחסו לחשבון הדיפרנציאלי מנקודות מבט שונות, אך התכנסו בתוצאותיהם.

בעוד ניוטון התמקד בבידול כמהירות או כשיעור שינוי, הגישה של לייבניץ הייתה גיאומטרית יותר. ניתן לומר שניוטון תקף את ההשערות שהשאיר אפולוניוס מפרגה ולייבניץ את הרעיונות הגיאומטריים של פרמה.

הגזירה המשתמעת מופיעה מייד כשאתם שוקלים את המשוואות הדיפרנציאליות והאינטגרליות. אלה הרחיבו את הרעיון הגאומטרי של לייבניץ ל R ³ ואפילו לחללים רב מימדיים.

יישומים

נגזרות מרומזות משמשות במצבים שונים. הם נפוצים בבעיות שער החליפין בין משתנים קשורים, כאשר בהתאם לתחושת המחקר, המשתנים ייחשבו תלויים או עצמאיים.

יש להם גם יישומים גיאומטריים מעניינים, כמו בעיות בהשתקפות או צללים, על דמויות שאפשר ליצור את המודל המתמטי שלהן.

הם משמשים לעיתים קרובות בתחומי הכלכלה וההנדסה, כמו גם בחקירות שונות של תופעות טבע ומבנים ניסיוניים.

תרגילים שנפתרו

תרגיל 1

הגדירו את הביטוי המרומז המגדיר dy / dx

כל מרכיב בביטוי מובחן

קביעת כלל השרשרת בכל מקרה מוסמך

קיבוץ מצד אחד של שוויון בין האלמנטים שיש להם dy / dx

זה נבדק באמצעות הגורם המשותף

זה נפתר להשגת הביטוי המבוקש

תרגיל 2

הגדירו את הביטוי המרומז המגדיר dy / dx

מבטאים את הנגזרים שיבוצעו

נגזר באופן מרומז על פי כלל השרשרת

פקטורציה של אלמנטים נפוצים

קיבוץ המונח dy / dx בצד אחד של השוויון

גורם משותף ליסוד הדיפרנציאלי

אנו מבודדים ומקבלים את הביטוי המבוקש

הפניות

1. חישוב של משתנה יחיד. רון לארסון, ברוס ה. אדוארדס. לימוד Cengage, 10 בנובמבר 2008
2. משפט הפונקציה המובלעת: היסטוריה, תיאוריה ויישומים. סטיבן ג 'קרנץ, הרולד ר. פארקס. שפרינגר מדע ומדיה עסקית, 9 בנובמבר. 2012
3. ניתוח רב משתנים. סאטיק שיראלי, הרקרישאן לאל וסודבה. שפרינגר מדע ומדיה עסקית, 13 בדצמבר. 2010
4. דינמיקת מערכת: דוגמנות, הדמיה ובקרה של מערכות מכטרוניות. דין סי קרנופ, דונלד ל. מרגוליס, רונלד סי רוזנברג. ג'ון וויילי ובניו, 7 במרץ 2012
5. חשבון: מתמטיקה ודוגמנות. ויליאם בולדרי, ג'וזף ר. פדלר, פרנק ר. ג'ורדנו, אד לודי, ריק ויטריי. אדיסון ווסלי לונגמן, 1 בינואר 1999