חבל (גיאומטריה): אורך, משפט ותרגילים - מתמטיקה - 2025

אקורד , בגיאומטריה של המישור, הוא קטע הקו המתחבר שתי נקודות על עקומת. הקו שמכיל קטע זה נאמר כקו מבודד לעיקול. לרוב זהו מעגל, אך בהחלט ניתן לצייר אקורדים על עקומות רבות אחרות, כגון אליפסות ופרבולות.

באיור 1 משמאל יש עקומה שאליה שייכים הנקודות A ו- B. האקורד בין A ל B הוא הקטע הירוק. מימין היקף ואחד ממיתריו, שכן ניתן לצייר אינסוף.

איור 1. משמאל אקורד של עקומה שרירותית ומימין אקורד המעגל. מקור: Wikimedia Commons.

בהיקף הקוטר שלו מעניין במיוחד, המכונה גם האקורד העיקרי. זהו אקורד המכיל תמיד את מרכז ההיקף ומודד פעמיים את הרדיוס.

הדמות הבאה מציגה את הרדיוס, הקוטר, האקורד וגם את קשת ההיקף. זיהוי נכון של כל אחד מהם חשוב בעת פתרון בעיות.

איור 2. אלמנטים של היקף. מקור: Wikimedia Commons.

אורך האקורד של מעגל

אנו יכולים לחשב את אורך האקורד במעגל מתמונות 3a ו- 3b. שימו לב שתמיד נוצר משולש עם שני צדדים שווים (איזוסלים): קטעים OA ו- OB, המודדים R, רדיוס ההיקף. הצד השלישי של המשולש הוא קטע AB, שנקרא C, שהוא בדיוק אורך האקורד.

יש לצייר קו בניצב לאקורד C בכדי לחצוב את הזווית θ הקיימת בין שני הרדיוסים ושקודקודם הוא מרכז O של ההיקף. זו זווית מרכזית - מכיוון שקודקודו הוא המרכז - וקו הביזקטור הוא גם משתרך להיקף.

מייד נוצרים שני משולשים ימניים, שהמצב החיצוני שלהם מודד את ר '. מכיוון שהביסקטור, ואיתו הקוטר, מחלק את האקורד לשני חלקים שווים, מסתבר שאחת הרגליים היא מחצית C, כמצוין ב- איור 3 ב.

מהגדרת הסינוס של זווית:

sin (θ / 2) = רגל מנוגדת / hypotenuse = (C / 2) / R

לכן:

sin (θ / 2) = C / 2R

C = 2R sin (θ / 2)

איור 3. המשולש שנוצר על ידי שני רדיוסים ואקורד של היקף הוא שדיים (איור 3) מכיוון שיש לו שני צדדים שווים. הביזקטור מחלק אותו לשני משולשים ימניים (איור 3 ב). מקור: הוכן על ידי פ. זפטה.

משפט מיתרים

משפט המיתר הולך כך:

באיור הבא מופיעים שני אקורדים מאותו היקף: AB ו- CD, המצטלבים בנקודה P. באקורד AB מוגדרים הקטעים AP ו- PB, ואילו באקורד מוגדרים CD ו- PD CD. אז לפי המשפט:

AP. PB = CP. נ.ב.

איור 4. משפט אקורד של מעגל. מקור: פ. זפטה.

נפתרו תרגילי מיתרים

- תרגיל 1

במעגל יש אקורד 48 ס"מ, שהוא 7 ס"מ מהמרכז. חשב את שטח המעגל ואת היקף ההיקף.

פִּתָרוֹן

כדי לחשב את שטח המעגל A מספיק לדעת את רדיוס ההיקף בריבוע, מכיוון שהוא נכון:

A = π.R ²

כעת, הנתון שנוצר עם הנתונים שנמסרו הוא משולש ימין, שרגליו 7 ו -24 ס"מ בהתאמה.

איור 5. איור 5. גיאומטריה לתרגיל שנפתר 1. מקור: F. Zapata.

לפיכך, כדי למצוא את הערך של R ² , המשפט הפיתגוריאני c ² = a ² + b ² מוחל ישירות , מכיוון ש- R הוא תמצית המשולש:

R ² = (7 ס"מ) ² + (24 ס"מ) ² = 625 ס"מ ²

אז האזור המבוקש הוא:

A = π. 625 ס"מ ² = 1963.5 ס"מ ²

לגבי ההיקף או האורך L של ההיקף, הוא מחושב על ידי:

L = 2π. ר

החלפת ערכים:

R = √625 ס"מ ² = 25 ס"מ

L = 2π. 25 ס"מ = 157.1 ס"מ.

- תרגיל 2

קבע את אורך האקורד של מעגל שהמשוואה שלו היא:

x ² + y ² - 6x - 14y -111 = 0

הקואורדינטות של נקודת האמצע של האקורד ידועות כ P (17/2; 7/2).

פִּתָרוֹן

נקודת האמצע של האקורד P אינה שייכת להיקף, אך נקודות הסיום של האקורד כן. ניתן לפתור את הבעיה באמצעות משפט המיתר שצוין קודם לכן, אך ראשית נוח לכתוב את משוואת ההיקף בצורה קנונית, כדי לקבוע את רדיוס R ומרכזו O.

שלב 1: השג את המשוואה הקנונית של ההיקף

המשוואה הקנונית של המעגל למרכז (h, k) היא:

(xh) ² + (yk) ² = R ²

כדי להשיג אותו, עליך להשלים ריבועים:

(x ² - 6x) + (y ² - 14y) -111 = 0

שים לב ש- 6x = 2. (3x) ו- 14y = 2. (7y), כך שהביטוי הקודם נכתב כך, ונשאר ללא שינוי:

(x ² - 6x + 3 ² -3 ² ) + (y ² - 14y + 7 ² -7 ² ) -111 = 0

ועכשיו, בזכור את ההגדרה של מוצר מדהים (ab) ² = a ² - 2ab + b ² אתה יכול לכתוב:

(x - 3) ² - 3 ² + (y - 7) ² - 7 ² - 111 = 0

= (x - 3) ² + (y - 7) ² = 111 + 3 ² + 7 ² → (x - 3) ² + (y - 7) ² = 169

להיקף יש מרכז (3,7) ורדיוס R = √169 = 13. באיור שלהלן מוצג גרף ההיקף והאקורדים שישמשו במשפט:

איור 6. איור 6. גרף של היקף התרגיל שנפתר 2. מקור: F. Zapata באמצעות מחשבון הגרפים המקוון של Mathway.

שלב 2: קבע את המקטעים לשימוש במשפט המחרוזת

הקטעים שישמשו הם המיתרים CD ו- AB, על פי איור 6, שניהם נחתכים בנקודה P, ולכן:

CP. PD = AP. PB

כעת אנו מוצאים את המרחק בין נקודות O ל- P, מכיוון שזה ייתן לנו את אורך הקטע OP. אם נוסיף את הרדיוס לאורך זה, יהיה לנו את מחיר המגזר.

המרחק d _OP בין שתי נקודות קואורדינטות (x ₁ , y ₁ ) ו- (x ₂ , y ₂ ) הוא:

ד _OP ² = OP ² = (x ₂ - x ₁ ) ² + (y ₂ - y ₁ ) ² = (3- 17/2) ² + (7- 7/2) ² = 121/4 + 49/4 = 170/4

ד _OP = OP = √170 / 2

עם כל התוצאות שהתקבלו, בתוספת הגרף, אנו בונים את רשימת המקטעים הבאה (ראה איור 6):

CO = 13 ס"מ = R

OP = √170 / 2 ס"מ

CP = OP + R = 13 + √170 / 2 ס"מ

PD = OD - OP = 13 - √170 / 2 ס"מ

AP = PB

2.AP = אורך האקורד

החלפת משפט המחרוזת:

CP. PD = AP. PB = = AP ²

= AP ²

253/2 = AP ²

AP = √ (253/2)

אורך המיתר הוא 2.AP = 2 (√253 / 2) = √506

האם הקורא יכול לפתור את הבעיה בדרך אחרת?

הפניות

1. Baldor, A. 2004. Plane and Geometry Space with Trigonometry. Publicaciones Culture SA de CV México.
2. C-K12. אורך אקורד. התאושש מ: ck12.org.
3. אסקובר, ג'. ההיקף. התאושש מ: matematicas.udea.edu.co.
4. וילנה, מ. קוניקאס. התאושש מ: dspace.espol.edu.ec.
5. ויקיפדיה. חבל (גיאומטריה). התאושש מ: es.wikipedia.org.