כמה פתרונות יש למשוואה ריבועית? - מתמטיקה - 2025

למשוואה ריבועית או למשוואה ריבועית יכולים להיות פתרונות אמיתיים, אחד או שניים, תלוי במקדמים המופיעים במשוואה זו.

אם אתה עובד על מספרים מורכבים אתה יכול לומר שלכל משוואה ריבועית יש שני פתרונות.

ראשית, משוואה ריבועית היא משוואה של הצורה ax² + bx + c = 0, כאשר a, b ו- c הם מספרים אמיתיים ו- x הוא משתנה.

נאמר ש x1 הוא פיתרון של המשוואה הריבועית הקודמת אם החלפת x על ידי x1 משביעת את המשוואה, כלומר אם a (x1) ² + b (x1) + c = 0.

אם למשל יש לנו את המשוואה x²-4x + 4 = 0, אז x1 = 2 הוא פיתרון שכן (2) ²-4 (2) + 4 = 4-8 + 4 = 0.

נהפוך הוא, אם נחליף את x2 = 0 נקבל (0) ²-4 (0) + 4 = 4 ומכיוון ש -4 ≠ 0 אז x2 = 0 אינו פיתרון של המשוואה הריבועית.

פתרונות של משוואה ריבועית

ניתן לחלק את מספר הפתרונות של משוואה ריבועית לשני מקרים שהם:

אחד.-

כאשר עובדים עם מספרים אמיתיים, משוואות ריבועיות יכולות להיות:

פתרונות אפסיים: כלומר, אין מספר אמיתי שמספק את המשוואה הריבועית. לדוגמא, המשוואה שניתנה למשוואה x² + 1 = 0, אין מספר אמיתי כזה שמספק את המשוואה האמורה, מכיוון ששני x² גדולים או שווים לאפס ו- 1 הוא בהחלט אפס, כך שסכומם יהיה גדול יותר קפדני מאפס.

-פתרון חוזר ונשנה: יש ערך ממשי יחיד שמספק את המשוואה הריבועית. לדוגמה, הפיתרון היחיד למשוואה x²-4x + 4 = 0 הוא x1 = 2.

-שני פתרונות שונים: ישנם שני ערכים המספקים את המשוואה הריבועית. לדוגמה, ל- x² + x-2 = 0 יש שני פתרונות שונים שהם x1 = 1 ו- x2 = -2.

2.- במספרים מורכבים

בעבודה עם מספרים מורכבים, למשוואות ריבועיות תמיד יש שני פתרונות שהם z1 ו- z2 כאשר z2 הוא הצמיד של z1. ניתן גם לסווג אותם ל:

קומפלקסים: הפתרונות הם בצורת z = p ± qi, כאשר p ו- q הם מספרים אמיתיים. מקרה זה תואם את המקרה הראשון ברשימה הקודמת.

קומפלקסים טהורים: הוא כאשר החלק האמיתי של הפיתרון שווה לאפס, כלומר לפיתרון יש את הצורה z = ± qi, כאשר q הוא מספר אמיתי. מקרה זה תואם את המקרה הראשון ברשימה הקודמת.

קומפלקסים עם חלק דמיוני שווה לאפס: זה כאשר החלק המורכב של הפיתרון שווה לאפס, כלומר הפיתרון הוא מספר אמיתי. מקרה זה תואם את שני המקרים האחרונים ברשימה הקודמת.

כיצד נמצאים הפתרונות של משוואה ריבועית?

כדי לחשב את הפתרונות של משוואה ריבועית, משתמשים בנוסחה המכונה "הרזולוציה", האומרת כי הפתרונות של משוואה ציר ² + bx + c = 0 ניתנים על ידי הביטוי בתמונה הבאה:

הכמות המופיעה בתוך השורש הריבועי נקראת מפלה של המשוואה הריבועית ומסומנת על ידי האות "ד".

למשוואה הריבועית יהיו:

- שני פתרונות אמיתיים אם ורק אם, d> 0.

-פיתרון אמיתי חוזר אם ורק אם, d = 0.

-אפס פתרונות אמיתיים (או שני פתרונות מורכבים) אם, ורק אם, d <0.

דוגמאות:

הפתרונות של המשוואה x² + x-2 = 0 ניתנים על ידי:

למשוואה x²-4x + 4 = 0 יש פיתרון חוזר הניתן על ידי:

הפתרונות של המשוואה x² + 1 = 0 ניתנים על ידי:

כפי שניתן לראות בדוגמה האחרונה הזו, x2 הוא הצמיד של x1.

הפניות

1. Fuentes, A. (2016). מתמטיקה בסיסית. מבוא לחשבון. Lulu.com.
2. גארו, מ '(2014). מתמטיקה: משוואות ריבועיות: כיצד פותרים משוואה ריבועית. מארילו גרו.
3. הייסלר, אי.פי, ופול, רס (2003). מתמטיקה לניהול וכלכלה. פירסון חינוך.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., and Estrada, R. (2005). מתמטיקה 1 SEP. מפתן.
5. Preciado, CT (2005). קורס מתמטיקה שלישי. פרוגרסו עריכה.
6. רוק, נ.מ. (2006). אלגברה אני קלה! כל כך קל. צוות רוק עיתונות.
7. Sullivan, J. (2006). אלגברה וטריגונומטריה. פירסון חינוך.