קואורדינטות מלבניות: דוגמאות ותרגילים שנפתרו - מתמטיקה - 2025

קואורדינטות מלבניות או קרטזית הם אלה אשר מתקבלים על orthogonally מקרין שלושת cartesian צירים X, Y, Z נקודה הממוקמת שלוש - ממדי מרחב.

הצירים הקרטזיים הם קווים המכוונים הדדית בניצב זה לזה. במערכת הקואורדינטות הקרטזית, לכל נקודה במרחב מוקצים שלושה מספרים אמיתיים שהם הקואורדינטות המלבניות שלה.

איור 1. איור 1. קואורדינטות מלבניות של נקודה P (פירוט משלו)

מטוס הוא תת-חלל של חלל תלת ממדי. במקרה של התחשבות בנקודות במטוס, אז מספיק לבחור בזוג צירים בניצב X, Y כמערכת קרטזית. ואז לכל נקודה במטוס מוקצים שני מספרים אמיתיים שהם הקואורדינטות המלבניות שלה.

מקור קואורדינטות מלבניות

קואורדינטות מלבניות הוצעו במקור על ידי המתמטיקאי הצרפתי רנה דקארט (1596 ו -1650), וזו הסיבה שהם מכונים קרטזיאן.

עם רעיון זה של דקארט, נקודות המישור והחלל מוקצות למספרים, כך שלדמויות הגיאומטריות יש משוואה אלגברית הקשורה וניתן להוכיח את המשפטים הגיאומטריים הקלאסיים באלגברית. בעזרת הקואורדינטות הקרטזיות נולדת הגיאומטריה האנליטית.

המטוס הקרטזיאני

אם במישור נבחרים שני קווים בניצב המצטלבים בנקודה O; ואם בנוסף לכל שורה מוקצה כיוון וסולם מספרי בין נקודות סדירות ברציפות, אז יש מערכת או מטוס קרטזיאני בו כל נקודה במישור קשורה לזוג מסודר של שני מספרים אמיתיים שהם תחזיותיהם בהתאמה על צירי ה- X וה- Y.

הנקודות A = (3, 2); B = (- 2, 3); C = (- 2, -3) ו- D = (3, -3) מיוצגים במישור הקרטסי כמוצג להלן:

איור 2. נקודות במישור הקרטסי. (פירוט משלו)

שימו לב ששני הצירים X ו- Y מחלקים את המטוס לארבעה מגזרים הנקראים ריבועים. נקודה A נמצאת ברביע הראשון, נקודה B נמצאת ברבע השני, נקודה C נמצאת ברבע השלישי ונקודה D היא ברביע הרביעי.

מרחק בין שתי נקודות

המרחק בין שתי נקודות A ו- B במישור הקרטסי הוא אורך הקטע שמצטרף אליהם. ניתן לחשב אנליטית את המרחק הזה באופן הבא:

d (A, B) = √ (Bx - Ax) ^ 2 + (על ידי - Ay) ^ 2)

הנוסחה לעיל מתקבלת על ידי יישום משפט פיתגורס.

החלת נוסחה זו על נקודות A, B באיור 2 יש לנו:

d (A, B) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + 1 ^ 2) = √ (26)

כלומר, d (A, B) = 5.10 יחידות. שימו לב שהמרחק הושג ללא צורך במדידה עם סרגל, ננקט נוהל אלגברי לחלוטין.

ביטוי אנליטי של קו

קואורדינטות מלבניות מאפשרות ייצוג אנליטי של אובייקטים גיאומטריים בסיסיים כמו הנקודה והקו. שתי נקודות A ו- B מגדירות שורה אחת. שיפוע הקו מוגדר כמניין בין ההפרש בין קואורדינטות Y של נקודה B מינוס A, חלקי ההפרש בין קואורדינטות X של נקודה B מינוס A:

מדרון = (על ידי - אי) / (Bx - גרזן)

לכל נקודה P של קואורדינטות (x, y) השייכת לקו (AB) חייבת להיות אותה שיפוע:

שיפוע = (y - Ay) / (x - Ax)

המשוואה שמתקבלת באמצעות שוויון המדרונות היא הייצוג האנליטי או האלגברי של הקו שעובר בנקודות A ו- B:

(y - Ay) / (x - Ax) = (By - Ay) / (Bx - Ax).

אם ניקח עבור A ו- B את הקואורדינטות המלבניות של איור 2 יש לנו:

(y - 2) / (x - 3) = (3 - 2) / (- 2 - 3)

(y - 2) / (x - 3) = -⅕

במקרה הספציפי הזה יש לנו קו עם שיפוע שלילי -⅕, כלומר, על ידי מיקום על נקודה בקו והגדלת קואורדינטת ה- x ביחידה אחת, קואורדינטת ה- y יורדת ב- 0.2 יחידות.

הדרך הנפוצה ביותר לכתוב את משוואת הקו במישור היא עם קואורדינטת y מנוקה כפונקציה של המשתנה x:

y = - (1/5) x + 13/5

דוגמאות

דוגמא 1

השג בשיטות אנליטיות את המרחק בין נקודות C ו- A, בהיותן הקואורדינטות המלבניות של C = (-2, -3) ואלה של A = (3,2).

הנוסחה למרחק האוקלידי בין שתי הנקודות הללו כתובה כך:

d (A, C) = √ ((Cx - גרזן) ^ 2 + (Cy - Ay) ^ 2)

להחליף את הקואורדינטות המתאימות שלהם יש לנו:

d (A, C) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (-3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + (-5) ^ 2) = 5√2 = 7.07

דוגמא 2

השג את המשוואה של הקו העובר דרך נקודה C של הקואורדינטות (-2, -3) ונקודה P של הקואורדינטות (2, 0).

ראשית, השיפוע של CP קו מתקבל:

שיפוע = (0 - (- 3)) / (2 - (-2)) = ¾

לכל נקודה Q של קואורדינטות מלבניות גנריות (x, y) השייכת לקו CP חייבת להיות אותה שיפוע:

שיפוע = (y - (- 3)) / (x - (-2)) = (y +3) / (x +2)

במילים אחרות, המשוואה של CP קו היא:

(y +3) / (x +2) = ¾

דרך חלופית לכתוב את המשוואה של קו CP היא פיתרון עבור y:

y = ¾ x - 3/2

תרגילים שנפתרו

תרגיל 1

השג את הקואורדינטות המלבניות של נקודת ההצטלבות בין השורות y = - (1/5) x + 13/5 והקו y = ¾ x - 3/2.

הפיתרון: בהגדרה נקודת החיתוך של שני הקווים חולקת את אותם קואורדינטות מלבניות. לפיכך, קואורדינטות Y בנקודת ההצטלבות זהות לשני הקווים:

- (1/5) x + 13/5 = ¾ x - 3/2

מה שמוביל לביטוי הבא:

(¾ + ⅕) x = 13/5 +3/2

לפתור את סכום השברים שאנו משיגים:

19/20 x = 41/10

פיתרון ל- x:

x = 82/19 = 4.32

כדי להשיג את ערך ה- Y של הצומת, ערך ה- x המתקבל מוחלף בכל אחד מהשורות:

y = ¾ 4.32 - 3/2 = 1.74

משמעות הדבר היא שהקווים הנתונים מצטלבים בנקודה I של הקואורדינטות I = (4.32, 1.74).

תרגיל 2

השג את המשוואה של היקף העובר בנקודה R של קואורדינטות מלבניות (3, 4), ובמרכזו מקור הקואורדינטות.

הפיתרון: הרדיוס R הוא המרחק מנקודה R למקור O של הקואורדינטות (0, 0).

d (R, O) = √ ((Rx - 0) ^ 2 + (Ry - 0) ^ 2) = √ ((3 - 0) ^ 2 + (4 - 0) ^ 2) = √ (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

כלומר, זהו מעגל של רדיוס 5 שבמרכזו (0,0).

כל נקודה P (x, y) על ההיקף חייבת להיות באותו מרחק 5 מהמרכז (0, 0) כך שניתן יהיה לכתוב אותה:

d (P, O) = √ ((x - 0) ^ 2 + (y - 0) ^ 2) = √ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

זאת אומרת:

√ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

כדי לחסל את השורש הריבועי, שני חברי השוויון בריבוע, מקבלים:

x ^ 2 + y ^ 2 = 25

מה המשוואה של היקף.

דוגמה זו ממחישה את כוחה של מערכת הקואורדינטות המלבנית, המאפשרת לקבוע עצמים גיאומטריים, כמו היקפים, ללא צורך להשתמש בנייר, בעפרון ובמצפן. ההיקף המבוקש נקבע אך ורק בשיטות אלגבריות.

הפניות

1. ארפקן G וובר ה '(2012). שיטות מתמטיות לפיזיקאים. מדריך מקיף. מהדורה 7. עיתונות אקדמית. ISBN 978-0-12-384654-9
2. חישוב סמ"ק. פתרו בעיות של קואורדינטות מלבניות. התאושש מ: calculo.cc
3. ויסשטיין, אריק וו. "קואורדינטות קרטזיות." מאת MathWorld-A וולפרם ווב. התאושש מ: mathworld.wolfram.com
4. ויקיפדיה. מערכת קואורדינציה קרטזית. התאושש מ: en.wikipedia.com