קבוע באינטגרציה: משמעות, חישוב ודוגמאות - מתמטיקה - 2025

המתמיד של אינטגרציה הוא ערך מוסף לחישוב antiderivatives או אינטגרלים, היא משמשת כדי לייצג את הפתרונים שמרכיבים את הפרימיטיבי של פונקציה. זה מבטא עמימות אינהרנטית כאשר לכל פונקציה יש מספר אינסופי של פרימיטיביות.

לדוגמה, אם ניקח את הפונקציה: f (x) = 2x + 1 ואנחנו מקבלים את האנטי-פעילות שלה:

∫ (2x + 1) dx = x ² + x + C ; כאשר C הוא קבוע האינטגרציה ומייצג באופן גרפי את התרגום האנכי בין האפשרויות האינסופיות של הפרימיטיבי. נכון לומר ש (x ² + x) הוא אחד הראשוניים של f (x).

מקור: מחבר

באופן דומה אנו יכולים להגדיר (x ² + x + C ) כפרימיטיבי של f (x).

רכוש הפוך

ניתן לציין שכאשר נגזרת הביטוי (x ² + x) מתקבלת הפונקציה f (x) = 2x + 1. זה נובע מהמאפיין ההפוך בין הגזירה לשילוב הפונקציות. מאפיין זה מאפשר להשיג נוסחאות אינטגרציה החל מהבידול. המאפשר אימות אינטגרלים באמצעות אותן נגזרות.

מקור: מחבר

עם זאת (x ² + x) אינה הפונקציה היחידה שנגזרתה שווה ל (2x + 1).

1. d (x ² + x) / dx = 2x + 1
2. d (x ² + x + 1) / dx = 2x + 1
3. d (x ² + x + 2) / dx = 2x + 1
4. d (x ² + x + 3) / dx = 2x + 1
5. d (x ² + x + C ) / dx = 2x + 1

כאשר 1, 2, 3 ו- 4 מייצגים פרימיטיבים מסוימים של f (x) = 2x + 1. בעוד 5 מייצג את האינטגרל הבלתי מוגדר או הפרימיטיבי של f (x) = 2x + 1.

מקור: מחבר

פרימיטיביות של פונקציה מושגות באמצעות האנטי-הפעלה או תהליך אינטגרלי. כאשר F יהיה פרימיטיבי של f אם להלן הדברים נכונים

• y = ∫ f (x) dx = F (x) + C; C = קבוע של אינטגרציה
• F '(x) = f (x)

ניתן לראות שלפונקציה יש נגזרת יחידה, בשונה מהפרימיטיביות האינסופיות שלה הנובעות מהאינטגרציה.

האינטגרל הבלתי מוגדר

∫ f (x) dx = F (x) + C

זה תואם למשפחה של עקומות עם אותה דפוס, שחוות אי התאמה בערך התמונות של כל נקודה (x, y). כל פונקציה שתמלא דפוס זה תהיה פרימיטיבית אינדיבידואלית והמערכת של כל הפונקציות ידועה כאינטגרל בלתי מוגדר.

הערך של קבוע האינטגרציה יהיה זה שמבדיל כל פונקציה בפועל.

המתמיד של אינטגרציה מרמז על שינוי אנכי בכל גרפים המייצגים את הפרימיטיבים של פונקציה. שם נצפתה ההקבלה ביניהם, והעובדה ש- C הוא ערך העקירה.

על פי נוהגים נפוצים, קבוע האינטגרציה מציין את האות "ג" לאחר תוספת, אם כי בפועל לא משנה אם הקבוע יתווסף או יופחת. ניתן למצוא את ערכו האמיתי בדרכים שונות בתנאים ראשוניים שונים .

משמעויות אחרות של קבוע האינטגרציה

כבר הוזכר כיצד מיישמים את קבוע האינטגרציה בענף של חשבון אינטגרלי ; ייצוג משפחת עקומות המגדירות את האינטגרל הבלתי מוגדר. אך מדעים וסניפים רבים אחרים הקצו ערכים מעניינים ומעשיים מאוד של קבוע האינטגרציה, אשר הקלו את התפתחותם של מחקרים מרובים.

בשנת פיזיקה הקבוע של אינטגרציה יכול לקחת מספר ערכים בהתאם לאופי של הנתונים. דוגמה נפוצה מאוד היא הכרת הפונקציה V (t) המייצגת את מהירות החלקיק לעומת הזמן t. ידוע כי בחישוב פרימיטיבי של V (t) מתקבלת הפונקציה R (t) המייצגת את מיקום החלקיק לעומת הזמן.

קבוע האינטגרציה יהיה לייצג את הערך של העמדה הראשונית, כלומר, בזמן t = 0.

באותו אופן, אם ידועה הפונקציה A (t) המייצגת את האצת החלקיק לעומת הזמן. הפרימיטיבי של A (t) יביא לפונקציה V (t), כאשר קבוע האינטגרציה יהיה הערך של המהירות הראשונית V ₀ .

בשנת כלכלה , על ידי קבלת ידי שילוב הפרימיטיבי של פונקציית עלות. קבוע האינטגרציה יהיה לייצג את עלויות קבועות. וכל כך הרבה יישומים אחרים שמגיעים לחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי.

כיצד מחושב קבוע האינטגרציה?

כדי לחשב את קבוע האינטגרציה, תמיד יהיה צורך לדעת את התנאים הראשוניים . האחראים על הגדרת מי מהפרימיטיביות האפשריות היא המתאימה.

ביישומים רבים מתייחסים אליו כאל משתנה עצמאי בזמן (t), כאשר הקבוע C לוקח את הערכים המגדירים את התנאים הראשוניים של המקרה המסוים.

אם ניקח את הדוגמה הראשונית: ∫ (2x + 1) dx = x ² + x + C

תנאי ראשוני תקף יכול להיות להתנות שהגרף עובר דרך קואורדינטה ספציפית. לדוגמא, אנו יודעים שהפרימיטיבי (x ² + x + C) עובר דרך הנקודה (1, 2)

F (x) = x ² + x + C; זה הפיתרון הכללי

F (1) = 2

אנו מחליפים את הפיתרון הכללי בשוויון זה

F (1) = (1) ² + (1) + C = 2

מאיפה זה נובע בקלות ש- C = 0

באופן זה הפרימיטיבי המקביל למקרה זה הוא F (x) = x ² + x

ישנם מספר סוגים של תרגילים מספריים העובדים עם קבועי שילוב . למעשה, החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי לא מפסיק להחיל בחקירות השוטפות. ברמות אקדמיות שונות ניתן למצוא אותן; החל מחישוב ראשוני, דרך פיזיקה, כימיה, ביולוגיה, כלכלה, בין היתר.

זה מוערך גם במחקר של משוואות דיפרנציאליות , בהן קבוע האינטגרציה יכול לקחת ערכים ופתרונות שונים, וזאת בגלל הנגזרים והאינטגרציות המרובות המתבצעות בעניין זה.

דוגמאות

דוגמא 1

1. תותח הממוקם בגובה 30 מטר יורה טיל אנכית כלפי מעלה. המהירות הראשונית של הטיל ידועה כ- 25 מ '/ ש'. לְהַחלִיט:

• הפונקציה המגדירה את מיקום השלד ביחס לזמן.
• זמן הטיסה או רגע המועד בו החלקיק פוגע בקרקע.

ידוע שבתנועה ישראלית מגוונת באופן אחיד התאוצה היא ערך קבוע. זהו המקרה של שיגור הטיל, שם התאוצה תהיה כוח המשיכה

g = - 10 m / s ²

ידוע גם כי ההאצה היא הנגזרת השנייה של העמדה, מה שמעיד על שילוב כפול ברזולוציית התרגיל, ובכך משיג שני קבועי שילוב.

A (t) = -10

V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C ₁

התנאים הראשוניים של התרגיל מעידים כי המהירות ההתחלתית היא V ₀ = 25 m / s. זוהי המהירות ברגע ברגע t = 0. באופן זה משוכנע כי:

V (0) = 25 = -10 (0) + C ₁ ו- C ₁ = 25

עם הגדרת פונקציית המהירות

V (t) = -10t + 25; ניתן לראות את הדמיון עם הנוסחה MRUV (V _f = V ₀ + axt)

בדרך הומולוגית אנו ממשיכים לשלב את פונקציית המהירות כדי להשיג את הביטוי המגדיר את המיקום:

R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10t + 25) dt = -5t ² + 25t + C ₂

R (t) = -5 t ² + 25t + C ₂ (מיקום פרימיטיבי)

המיקום ההתחלתי R (0) = 30 מ 'ידוע. ואז המחושב הפרימיטיבי של הטיל מחושב.

R (0) = 30 מ '= -5 (0) ² + 25 (0) + C ₂ . איפה C ₂ = 30

דוגמא 2

1. מצא את f (x) הפרימיטיבי העונה על התנאים הראשוניים:

• f '' (x) = 4; f '(2) = 2; f (0) = 7

עם המידע של הנגזרת השנייה f '' (x) = 4, מתחיל תהליך ההפעלה

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫4 dx = 4x + C ₁

ואז, בידיעת התנאי f '(2) = 2, אנו ממשיכים:

4 (2) + C ₁ = 2

C ₁ = -6 ו- f '(x) = 4x - 8

אנו ממשיכים באותה דרך לקבוע השני של האינטגרציה

f (x) = ∫f '(x) dx
∫ (4x - 8) dx = 2x ² - 8x + C ₂

התנאי הראשוני f (0) = 7 ידוע ואנחנו ממשיכים:

2 (0) ² - 8 (0) + C ₂ = 7

C ₂ = 7 ו- f (x) = 2x ² - 8x + 7

• f '' (x) = x ² ; f '(0) = 6; f (0) = 3

באופן דומה לבעיה הקודמת אנו מגדירים את הנגזרים הראשונים ואת הפונקציה המקורית מהתנאים הראשוניים.

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫ (x ² ) DX = (x ³ /3) + C ₁

עם התנאי f '(0) = 6 אנו ממשיכים:

(0 ^3/3 ) + C ₁ = 6; איפה C ₁ = 6 ו f "(x) = (x ³ /3) + 6

ואז הקבוע השני של האינטגרציה

f (x) = ∫f '(x) dx

∫ dx = (x ⁴ /12) + 6x + C ₂

התנאי הראשוני f (0) = 3 ידוע ואנחנו ממשיכים:

+ 6 (0) + C ₂ = 3; איפה C ₂ = 3

כך אנו משיגים את הפרט הפרימיטיבי

f (x) = (x ⁴ /12) + 6x + 3

דוגמא 3

1. הגדירו את הפונקציות הפרימיטיביות שניתנו הנגזרים ונקודה בתרשים:

• dy / dx = 2x - 2 העובר דרך הנקודה (3, 2)

חשוב לזכור כי נגזרים מתייחסים לשיפוע קו המשיק לעיקול בנקודה נתונה. שם לא נכון להניח שגרף הנגזרת נוגע בנקודה המצוינת, מכיוון שזה שייך לתרשים של הפונקציה הפרימיטיבית.

בדרך זו אנו מבטאים את המשוואה ההפרש כדלקמן:

∫dy = ∫ (2x - 2) dx

החלת התנאי הראשוני:

2 = (3) ² - 2 (3) + C

C = -1

זה מתקבל: f (x) = x ² - 2x - 1

• dy / dx = 3x ² - 1 שעובר בנקודה (0, 2)

אנו מבטאים את המשוואה ההפרש כדלקמן:

החלת התנאי הראשוני:

2 = (0) ² - 2 (0) + C

C = 2

אנו משיגים: f (x) = x ³ - x + 2

תרגילים מוצעים

תרגיל 1

1. מצא את f (x) הפרימיטיבי העונה על התנאים הראשוניים:

• f '' (x) = x; f '(3) = 1; f (2) = 5
• f '' (x) = x + 1; f '(2) = 2; f (0) = 1
• f '' (x) = 1; f '(2) = 3; f (1) = 10
• f '' (x) = -x; f '(5) = 1; f (1) = -8

תרגיל 2

1. בלון העולה במהירות של 16 רגל / ש 'מפיל שקית חול מגובה 64 רגל מעל פני הקרקע.

• הגדירו את זמן הטיסה
• מה יהיה הווקטור V _f כאשר הוא יפגע בקרקע?

תרגיל 3

1. התרשים מציג את גרף זמן ההאצה של מכונית הנעה בכיוון החיובי של ציר ה- x. המכונית נסעה במהירות קבועה של 54 קמ"ש כאשר הנהג הפעיל את הבלמים כדי לעצור תוך 10 שניות. לקבוע:

• ההאצה הראשונית של המכונית
• מהירות המכונית ב t = 5s
• עקירת המכונית בזמן הבלימה

מקור: מחבר

תרגיל 4

1. הגדירו את הפונקציות הפרימיטיביות שניתנו הנגזרים ונקודה בתרשים:

• dy / dx = x שעובר בנקודה (-1, 4)
• dy / dx = -x ² + 1 שעובר בנקודה (0, 0)
• dy / dx = -x + 1 שעובר בנקודה (-2, 2)

הפניות

1. חשבון אינטגרלי. שיטות אינטגרציה ושילוב בלתי מוגדרות. וילסון, ולסקס בסטידס. אוניברסיטת מגדלנה 2014
2. סטיוארט, ג'יי (2001). חישוב משתנה. טרנסצנדנטים מוקדמים. מקסיקו: תומסון למידה.
3. Jiménez, R. (2011). מתמטיקה VI. חשבון אינטגרלי. מקסיקו: פירסון חינוך.
4. פיזיקה I. Mc Graw hill