קבוע בולצמן: היסטוריה, משוואות, חשבון, תרגילים - גוּפָנִי - 2025

קבוע בולצמן הוא הערך המתייחס האנרגיה הקינטית הממוצעת של מערכת תרמודינמית או אובייקט עם הטמפרטורה המוחלטת של אותו. למרות שלעתים קרובות הם מבולבלים, הטמפרטורה והאנרגיה אינם אותו מושג.

טמפרטורה היא מדד לאנרגיה, אך לא אנרגיה עצמה. עם הקבוע של בולצמן הם קשורים זה לזה בדרך הבאה:

מצבה של בולצמן בווינה. מקור: דרדרות בוויקיפדיה האנגלית

משוואה זו תקפה למולקולת גז אידיאלית מונומטית בעלת מסה m, כאשר E _c היא האנרגיה הקינטית שלה הניתנת בג'ולס, k _B הוא הקבוע של בולצמן ו- T הוא הטמפרטורה המוחלטת בקלווין.

באופן זה, כאשר הטמפרטורה עולה, האנרגיה הקינטית הממוצעת לכל מולקולת חומר עולה גם היא, כצפוי לקרות. וההיפך קורה כאשר הטמפרטורה יורדת, היכולת להגיע לנקודה שבה אם כל התנועה נעצרת, הטמפרטורה הנמוכה ביותר או אפס מוחלט מגיעים.

כשמדברים על אנרגיה קינטית ממוצעת, יש לזכור כי אנרגיה קינטית קשורה לתנועה. וחלקיקים יכולים לנוע בדרכים רבות, כמו תנועה, סיבוב או רטט. כמובן שלא כולם יעשו את זה באותה צורה, ומכיוון שהם לא ניתן לספור, אז נלקח הממוצע לאפיין את המערכת.

יש מצבי אנרגיה שיש להם סיכוי גבוה יותר מאחרים. למושג זה חשיבות קיצונית בתרמודינמיקה. האנרגיה הנחשבת במשוואה הקודמת היא אנרגיה קינטית בתרגום. ההסתברות של מדינות וקשריה עם הקבוע של בולצמן יידונו מעט מאוחר יותר.

בשנת 2018 קלווין הוגדר מחדש ואיתו קבוע בולצמן, אשר במערכת הבינלאומית היא כ 1.380649 x 10 ^-23 J. K ^-1 . ניתן להשיג הרבה יותר דיוק עבור קבוע בולצמן, שנקבע במעבדות רבות ברחבי העולם, בשיטות שונות.

הִיסטוֹרִיָה

הקבוע המפורסם חייב את שמו לפיזיקאי יליד וינה לודוויג בולצמן (1844-1906), שהקדיש את חייו כמדען לחקר התנהגותם הסטטיסטית של מערכות בעלות חלקיקים רבים, מנקודת המבט של המכניקה הניוטונית.

אף על פי שהיום קיומו של האטום מתקבל באופן אוניברסאלי, אך במאה ה -19 האמונה בשאלה האם האטום היה קיים או היה מלאכה איתה הוסברו תופעות פיסיקליות רבות הייתה בדיון מלא.

בולצמן היה מגן נוקב על קיומו של האטום, ובזמנו התמודד עם ביקורת קשה על עבודתו מצד עמיתים רבים, אשר חשבו שהיא מכילה פרדוקסים בלתי פתירים.

הוא הצהיר כי ניתן להסביר תופעות ניתנות לצפייה ברמות מקרוסקופיות על ידי התכונות הסטטיסטיות של חלקיקים מכוננים כמו אטומים ומולקולות.

יכול להיות שהביקורות הללו נבעו מהפרק הדיכאון העמוק שהביא אותו לקחת את חייו בתחילת ספטמבר 1906, אז עוד היה לו הרבה מה לעשות, מכיוון שהוא נחשב לאחד הפיזיקאים התיאורטיים הגדולים בתקופתו ונשאר מעט מאוד ללכת. שמדענים אחרים תורמים לאישוש אמיתות התיאוריות שלהם.

זמן לא רב לאחר מותו התווספו תגליות חדשות על אופי האטום וחלקיקיו המרכיבים כדי להוכיח את זכותו של בולצמן.

עבודותיו הקבועות של בולצמן ופלנק

כעת הוצג קבוע _{B B} בולצמן כפי שהוא ידוע היום זמן מה לאחר עבודתו של הפיזיקאי האוסטרי. זה היה מקס פלאנק, בחוקו בנושא פליטת הגופה השחורה, יצירה שהציג בשנת 1901, אשר באותה תקופה העניקה לה את הערך של 1.34 x 10 ⁻²³ J / K.

בסביבות שנת 1933, לוח עם הגדרת האנטרופיה המערבת את הקבוע המפורסם: S = k _B log W נוסף למצבה של בולצמן בווינה כמחווה לאחר מכן , משוואה שתידון בהמשך.

כיום אין הכרח בקביעת בולצמן ביישום חוקי התרמודינמיקה, מכניקה סטטיסטית ותורת המידע, ששדות מהם הפיזיקאי המסתיים בעצב היה חלוץ.

ערך ומשוואות

ניתן לתאר גזים במונחים מקרוסקופיים וגם במונחים מיקרוסקופיים. לתיאור הראשון ישנם מושגים כמו צפיפות, טמפרטורה ולחץ.

עם זאת, יש לזכור כי גז מורכב מחלקיקים רבים, שיש להם נטייה עולמית להתנהגות מסוימת. זו המגמה שנמדדת מקרוסקופית. אחת הדרכים לקבוע את קבוע בולצמן היא בזכות משוואת הגז האידיאלית הידועה:

כאן p הוא לחץ הגז, V הוא נפחו, n הוא מספר השומות הנוכח, R הוא קבוע הגז ו- T הוא הטמפרטורה. בשומה של גז אידיאלי, הקשר הבא מתקיים בין המוצר pV, והאנרגיה הקינטית התרגומית K של כל הסט היא:

לכן האנרגיה הקינטית היא:

על ידי חלוקה במספר הכולל של המולקולות הנוכחות, אשר ייקראו N, מתקבלת האנרגיה הקינטית הממוצעת של חלקיק בודד:

בשומה אחד יש מספר אבוגדרו של חלקיקים N , ולכן המספר הכולל של חלקיקים הוא N = NN, עוזב:

בדיוק המנה R / N _A הוא קבוע בולצמן, ובכך מוצג כי האנרגיה הקינטית התרגומית הממוצעת של חלקיק תלויה רק ​​בטמפרטורה המוחלטת T ולא בכמויות אחרות כמו לחץ, נפח או אפילו סוג המולקולה:

הקבוע והאנטרופיה של בולצמן

לגז יש טמפרטורה נתונה, אך טמפרטורה זו יכולה להתאים למצבים שונים של אנרגיה פנימית. כיצד לדמיין את ההבדל הזה?

קחו בחשבון את ההעיף בו זמנית של 4 מטבעות ואת הדרכים בהן הם יכולים ליפול:

דרכים בהן 4 יכולים להפיל 4 מטבעות. מקור: תוצרת עצמית

ערכת המטבעות יכולה להניח בסך הכל 5 מדינות, הנחשבות למקרוסקופיות, המתוארות באיור. איזו ממדינות אלה היה הקורא סביר כי היא הסבירה ביותר?

התשובה צריכה להיות מצב של 2 ראשים ו -2 זנבות, מכיוון שיש לכם בסך הכל 6 אפשרויות, מתוך 16 שמודגם באיור. Y 2 ⁴ = 16. אלה שווים למצבים המיקרוסקופיים.

מה אם יזרקו 20 מטבעות במקום 4? יהיו בסך הכל 2 ²⁰ אפשרויות או "מצבים מיקרוסקופיים". זהו מספר גדול בהרבה וקשה יותר להתמודד איתו. כדי להקל על הטיפול במספרים גדולים, הלוגריתמים מתאימים מאוד.

כעת, מה שנראה ברור הוא שהמדינה עם ההפרעה הגדולה ביותר היא הסבירה ביותר. מעט יותר מצבים מסודרים כמו 4 ראשים או 4 אטמים מעט פחות סבירים.

האנטרופיה של מצב מקרוסקופי מוגדרת כ:

כאשר w הוא מספר המצבים המיקרוסקופיים האפשריים של המערכת ו- k _B הוא הקבוע של בולצמן. מכיוון ש- ln w הוא חסר ממדים, לאנטרופיה יש אותן יחידות כמו k _B : Joule / K.

זו המשוואה המפורסמת שעל מצבה של בולצמן בווינה. עם זאת, יותר מאשר אנטרופיה, מה שרלוונטי הוא השינוי שלה:

איך מחשבים k

הערך של הקבוע של בולצמן מתקבל באופן ניסיוני בצורה מדויקת במיוחד עם מדידות המבוססות על תרמומטריה אקוסטית, המתבצעות באמצעות המאפיין שמבסס את התלות של מהירות הצליל בגז עם הטמפרטורה שלו.

אכן, מהירות הצליל בגז ניתנת על ידי:

B _adiabatic = γp

ו- ρ הוא צפיפות הגז. עבור המשוואה לעיל, p הוא לחץ הגז המדובר ו- γ הוא המקדם האדיאבטי, שערכו עבור גז נתון נמצא בטבלאות.

מכוני מטרולוגיה עורכים ניסויים בדרכים אחרות למדידת הקבוע, למשל תרמומטרית רעש ג'ונסון המשתמשת בתנודות תרמיות אקראיות בחומרים, במיוחד מוליכים.

תרגילים שנפתרו

-תרגיל 1

למצוא:

א) E האנרגיה הקינטית translational הממוצע _ג כי מולקולת גז אידיאלי יש בבית 25 ºC

ב) האנרגיה הקינטית התרגומית K של המולקולות בשומה של גז זה

ג) המהירות הממוצעת של מולקולת חמצן ב 25 מעלות צלזיוס

עוּבדָה

מ ' _חמצן = 16 x 10 ^-3 ק"ג / מולקולה

פִּתָרוֹן

א) E _c = (3/2) k T = 1.5 x 1.380649 x 10 ^-23 J. K ^-1 x 298 K = 6.2 x 10 ^-21 J

b) K = (3/2) nRT = 5 x 1 mol x 8.314 J / mol. K x 298 K = 3716 J

ג) E _c = ½ mv ² , אם לוקחים בחשבון שמולקולת החמצן היא דיאטומית ויש להכפיל את המסה הטוחנית ב -2, יהיה לנו:

מצא את השינוי באנטרופיה כאשר 1 מול דלק התופס נפח של 0.5 מ ' ³ מתרחב לכבוש 1 מ' ³ .

פִּתָרוֹן

ΔS = k _B ln (w ₂ / w ₁ )

הפניות

1. אטקינס, עמ '1999. כימיה פיזיקלית. מהדורות אומגה. 13-47.
2. Bauer, W. 2011. פיזיקה להנדסה ומדעים. כרך 1. מק גריי היל. 664 - 672.
3. Giancoli, D. 2006. פיזיקה: עקרונות עם יישומים. 6 .. אד פרנטיס הול. 443-444.
4. סירס, זמנסקי. 2016. פיזיקה באוניברסיטה עם פיזיקה מודרנית. 14. עורך כרך 1. 647-673.
5. הגדרה מחדש של כן. קלווין: בולצמן קונסטנט. נלקח מ: nist.gov