רכיבים מלבניים של וקטור (עם תרגילים) - מתמטיקה - 2025

רכיבים מלבני של וקטור הם הנתונים שמרכיבים וקטור. כדי לקבוע אותם, יש צורך במערכת קואורדינטות, שהיא בדרך כלל המטוס הקרטזיאני.

ברגע שיש לך וקטור במערכת קואורדינטות, אתה יכול לחשב את מרכיביו. אלה הם 2, רכיב אופקי (מקביל לציר ה- X), המכונה "רכיב ציר ה- X", ורכיב אנכי (מקביל לציר Y), המכונה "רכיב ציר ה- Y".

ייצוג גרפי של המרכיבים המלבניים של וקטור

כדי לקבוע את המרכיבים, יש צורך לדעת נתונים מסוימים של הווקטור כמו גודלו והזווית שהוא יוצר עם ציר ה- X.

כיצד לקבוע את המרכיבים המלבניים של וקטור?

כדי לקבוע מרכיבים אלה, יש לדעת קשרים מסוימים בין משולשים ימניים לפונקציות טריגונומטריות.

בתמונה הבאה תוכלו לראות קשר זה.

מערכות יחסים בין משולשים ימניים לתפקודים טריגונומטריים

הסינוס של זווית שווה לנקודת המוצא שבין מידת הרגל שמול הזווית לבין מידת ההיפוטוזה.

לעומת זאת, הקוסינוס של זווית שווה לנתון בין מידת הרגל הצמודה לזווית למדידת ההיפוטוזה.

המשיק של זווית שווה לנתון שבין מידת הרגל הנגדית למדידת הרגל הסמוכה.

בכל מערכות היחסים הללו יש צורך לבסס את המשולש הימני המקביל.

האם יש שיטות אחרות?

כן. בהתאם לנתונים המסופקים, הדרך לחישוב המרכיבים המלבניים של וקטור יכולה להשתנות. כלי נפוץ נוסף הוא משפט פיתגורס.

תרגילים

התרגילים הבאים הפעילו את הגדרת המרכיבים המלבניים של וקטור והקשרים שתוארו לעיל.

תרגיל ראשון

ידוע שלווקטור A יש גודל שווה ל 12 ולזווית שהוא עושה עם ציר ה- X יש מידה של 30 מעלות. קבע את המרכיבים המלבניים של הווקטור A.

פִּתָרוֹן

אם מעריכים את התמונה ומשתמשים בנוסחאות המתוארות לעיל, ניתן להסיק כי הרכיב בציר Y של וקטור A שווה ל

sin (30 °) = Vy / 12, ולכן Vy = 12 * (1/2) = 6.

מצד שני, יש לנו שהרכיב בציר ה- X של וקטור A שווה ל

cos (30 °) = Vx / 12, ולכן Vx = 12 * (√3 / 2) = 6√3.

תרגיל שני

אם וקטור A בעל גודל שווה ל- 5 והרכיב בציר ה- x שווה ל -4, קבעו את ערך הרכיב של A בציר ה- Y.

פִּתָרוֹן

בעזרת משפט פיתגורס, יש לנו כי גודל הווקטור A בריבוע שווה לסכום המשבצות של שני המרכיבים המלבניים. כלומר, M² = (Vx) ² + (Vy) ².

עליך להחליף את הערכים הנתונים

5² = (4) ² + (Vy) ², לפיכך, 25 = 16 + (Vy) ².

זה מרמז ש- (Vy) ² = 9 וכתוצאה מכך Vy = 3.

תרגיל שלישי

אם וקטור A בעל גודל שווה ל -4 והוא עושה זווית של 45 ° עם ציר ה- X, קבע את המרכיבים המלבניים של אותו וקטור.

פִּתָרוֹן

בעזרת הקשרים בין משולש ימני לפונקציות הטריגונומטריות ניתן להסיק כי הרכיב בציר Y של וקטור A שווה ל

sin (45 °) = Vy / 4, ולכן Vy = 4 * (√2 / 2) = 2√2.

מצד שני, יש לנו שהרכיב בציר ה- X של וקטור A שווה ל

cos (45 °) = Vx / 4, ולכן Vx = 4 * (√2 / 2) = 2√2.

הפניות

1. Landaverde, FD (1997). גיאומטריה (מהדפיס מחדש). התקדמות.
2. לייק, ד (2006). משולשים (מאויר). היינמן-ריינטרי.
3. פרז, CD (2006). חישוב מוקדם. פירסון חינוך.
4. רויז, Á., & Barrantes, H. (2006). גיאומטריות. טכנולוגית של CR.
5. סאליבן, מ '(1997). חישוב מוקדם. פירסון חינוך.
6. סאליבן, מ '(1997). טריגונומטריה וגיאומטריה אנליטית. פירסון חינוך.