היחס של פויסון: מקדם, נוסחאות, ערכים, דוגמאות - גוּפָנִי - 2025

פואסון של יחס הוא גודל חסר ממד, מאפיין של כל חומר. זהו אינדיקציה לעיוות של פיסת חומר לפני יישום כוחות מסוימים.

כאשר פיסת חומר הנתונה למתח, או לדחיסה, עוברת דפורמציה, המנה בין העיוות הרוחבי לעיוות האורכי הוא בדיוק יחסו של פויסון.

איור 1. איור 1. יחס פואסון מודד את הקשר בין מתיחה אורכית לבין היצרות רוחבית. (הוכן על ידי ריקרדו פרז)

לדוגמא, צילינדר גומי שעובר מתח בקצוותיו נמתח בכיוון האורך, אך מתכווץ לרוחב. איור 1 מציג סרגל שממדיו המקוריים הם: אורך L וקוטר D.

המוט נתון במתח T בקצותיו, וכתוצאה ממתח זה הוא עובר מתיחה, כך שהאורך החדש הוא L '> L. אך כאשר הוא נמתח, קוטרו גם מצטמצם לערך החדש: D '<ד.

המנה בין המתיחה (חיובי) להיצרות (שלילית) כפול (-1), היא מספר חיובי בין 0 ל 0.5. מספר זה הוא מה שמכונה יחס פויסון ν (האות היוונית נו).

נוסחת היחס של פויסון

כדי לחשב את יחס הפויסון, יש לקבוע את המתח האורך והרוחבי.

הזן האורך ε _L הוא המתח המחולק באורך המקורי:

ε _L = (L '- L) / L

באופן דומה, הזן הרוחבי ε _T הוא ההיצרות הרדיאלי המחולק בקוטר המקורי:

ε _T = (D '- D) / D

לכן יחס הפואסון מחושב על ידי הנוסחה הבאה:

ν = - ε _T / ε _L

קשר עם מודולוס של גמישות ומודולוס של קשיחות

יחס ה- Poisson ν קשור למודולוס E של גמישות (או מודולוס של יאנג) ומודולוס הנוקשות G, על ידי הנוסחה הבאה:

ערך היחס של פויסון לחומרים

איור 2. נירוסטה ביחס של פויסון בין 0.30 ל- 0.31. מקור: Pixabay.

דוגמאות לחישוב

דוגמא 1

מוט מחומר פלסטי מסוים אורך 150 מ"מ וחתך מעגלי בקוטר 20 מ"מ. כאשר הוא נתון לכוח דחיסה F של 612.25 ק"ג-f, נצפתה קיצור של 14 מ"מ ובו זמנית עלייה של 0.85 מ"מ בקוטר המוט.

לחשב:

א) מתח באורך.

ב) הזן הרוחבי.

ג) יחסו של פויסון לחומר זה.

ד) מודול הגמישות של יאנג המתאים לחומר.

ה) מודולוס הנוקשות של אותו פלסטיק.

פתרון ל

נזכיר כי המתח האורך εL הוא המתח המחולק באורך המקורי:

εL = (L '- L) / L

εL = (-14 מ"מ) / 150 מ"מ = -0.0933

שימו לב כי המתח האורך הוא חסר ממדים, ובמקרה זה הוא היה שלילי מכיוון שהייתה ירידה במימד האורך שלו.

פיתרון ב

באופן דומה, הזן הרוחבי ε T הוא התחדד הרדיאלי, המחולק בקוטר המקורי:

εT = (D '- D) / D

εT = (+0.85 מ"מ) / 20 מ"מ = 0.0425

הזן הרוחבי היה חיובי מכיוון שחלה עלייה בקוטר המוט.

פיתרון ג

לצורך חישוב יחסו של פויסון עלינו לזכור שהוא מוגדר כשלילי של המנה בין העיוות הרוחבי לעיוות האורכי:

ν = - εT / εL

ν = - 0.0425 / (-0.0933) = 0.4554

יש לזכור כי היחס של פויסון הוא מספר חסר ממד חיובי ועבור מרבית החומרים הוא בין 0 ל 0.5.

פיתרון ד

מודול האלסטיות של יאנג, המצוין באות E, הוא קבוע המידתיות בחוקו של הוק. על ידי E, הלחץ הרגיל σL קשור לזן εL, כדלקמן:

σL = E εL

הלחץ הרגיל מוגדר כמנה המרכיב בין הכוח הנורמלי (במקרה זה במקביל לציר המוט) לאזור החתך:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

בתרגיל זה הכוח F הוא 612.25 ק"ג -F, אותו יש להמיר לניוטונים, שהיא יחידת הכוח של SI:

F = 612.25 kg-f = 612.25 * 9.8 N = 6000 N = 6 kN

החלק הנגדי של שטח A הוא:

A = (π / 4 * D ^ 2) = (3.1416 / 4) * (20 * 10 ^ -3 מ ') ^ 2 = 3.1416 * 10 ^ -4 m ^ 2

לבסוף הלחץ הרגיל המופעל על הבר הוא:

σL = F / A = 6000 N / 3.1416 * 10 ^ -4 m ^ 2 = 19.098.593 Pa = 19.098 MPa

כדי לחשב את מודול האלסטיות של יאנג, אנו פותרים עבור E מחוק הוק σL = E εL:

E = σL / εL = 19,098,593 פא / 0,0933 = 204,7 MPa

פיתרון ה

מודול הנוקשות G קשור למודולוס E של יאנג ויחסו של פויסון v על ידי נוסחה זו:

E / (2 G) = 1 + v

משם אנו יכולים לפתור עבור G:

G = E / (2 (1 + v)) = 204.7 MPa / (2 (1 + 0.4554)) = 70.33 MPa

דוגמא 2

יש כבל נחושת בקוטר של 4 מ"מ ואורך 1 מ '. בידיעה שמודול הנחושת של הצעיר הוא 110,000 מגפ"ס וכי יחס הפויסון שלו הוא 0.34, העריך את המתיחה וההיצרות בקוטר שעובר החוט כאשר נתלים עליו משקל של 100 ק"ג.

פִּתָרוֹן

ראשית, יש צורך לחשב את מתח המתיחה הרגיל שהמשקל מפעיל על התיל, לפי נוסחה זו:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

הכוח F הוא 980 N ואזור החתך הוא:

A = (π / 4 * D ^ 2) = (3.1416 / 4) * (4 * 10 ^ -3 מ ') ^ 2 = 1.2566 * 10 ^ -5 m ^ 2

ואז מתח המתיחה הוא:

σL = 980 N / 1.2566 * 10 ^ -5 מ ^ 2 = 77,986,000 פא

חישוב זן החוט

מודול האלסטיות של יאנג, המצוין באות E, הוא קבוע המידתיות בחוקו של הוק המתייחס למתח הרגיל σL למתח εL:

σL = E εL

משם ניתן לפתור את המתח האורך של חוט הנחושת:

εL = σL / E = 77.986 MPa / 110000 MPa = 7.09 * 10 ^ -4

חישוב זן רוחבי

מצד שני, כדי לדעת את המתח הרוחבי, מיחס יחס הפויסון:

ν = - εT / εL

לבסוף, המתח הרוחבי הוא:

εT = –ν εL = - 0.34 * 7.09 * 10 ^ -4 = -2.41 * 10 ^ -4

חישוב מתיחת כבלים מוחלטת

לבסוף, בכדי לדעת את מתיחת הכבל המוחלט, יש ליישם את הקשר הבא:

ΔL = εL * L = 7.09 * 10 ^ -4 * 1 מ = 7.09 * 10 ^ -4 מ = 0.709 מ"מ

כלומר, במשקל זה הכבל בקושי נמתח 0.709 מילימטרים.

חישוב ירידה בקוטר

כדי להשיג את הצטמקות מוחלטת בקוטר אנו משתמשים בנוסחה הבאה:

ΔD = εT * D = -2.41 * 10 ^ -4 * 4 מ"מ = -9.64 * 10 ^ -4 מ"מ = -0.000964 מילימטרים.

ההיצרות בקוטר זה כה קטן עד שקשה לראות בעין בלתי מזוינת, אפילו מדידתו דורשת מכשיר דיוק גבוה.

הפניות

1. בירה F. מכניקת חומרים. 5. מַהֲדוּרָה. 2010. מק גריי היל. 1-130.
2. Hibbeler R. מכניקת חומרים. מהדורה שמינית. אולם פרנטיס. 2011. 3-60.
3. Gere J. מכניקת חומרים. מהדורה שמינית. לימוד Cengage. 4-220.
4. Giancoli, D. 2006. פיזיקה: עקרונות עם יישומים. אולם Edent Prentice. 238-242.
5. Valera Negrete, J. 2005. הערות על פיזיקה כללית. UNAM. 87-98.