זעזועים אלסטיים: בממד אחד, מקרים מיוחדים, תרגילים - גוּפָנִי - 2025

התנגשויות האלסטיות או התנגשויות אלסטיות הן אינטראקציות קצרות אך אינטנסיביות בין אובייקטים, שבו הוא את המומנטום והאנרגיה הקינטית שמור. ההתרסקויות הן אירועים תכופים מאוד בטבע: מחלקיקים תת-אטומיים לגלקסיות, לכדורי ביליארד ומכוניות פגוש בפארקי השעשועים, כולם חפצים המסוגלים להתנגש.

במהלך התנגשות או התנגשות, כוחות האינטראקציה בין עצמים הם חזקים מאוד, הרבה יותר מאלו שיכולים לפעול חיצונית. בדרך זו ניתן לקבוע כי במהלך ההתנגשות החלקיקים יוצרים מערכת מבודדת.

התנגשויות בכדור ביליארד יכולות להיחשב אלסטיות. מקור: Pixabay.

במקרה זה נכון ש:

התנע P _o לפני ההתנגשות זהה לאחר ההתנגשות. זה נכון לכל סוג של התנגשות, אלסטית וגם לא אלסטית.

שקול עכשיו את הדברים הבאים: במהלך התנגשות, חפצים עוברים עיוות מסוים. כאשר ההלם אלסטי, חפצים חוזרים במהירות לצורתם המקורית.

שימור אנרגיה קינטית

בדרך כלל במהלך התרסקות, חלק מהאנרגיה של חפצים מבלה על חום, עיוות, צליל ולעיתים אפילו על הפקת אור. אז האנרגיה הקינטית של המערכת לאחר ההתנגשות היא פחות מהאנרגיה הקינטית המקורית.

כאשר האנרגיה הקינטית K נשמרת אז:

מה שאומר שהכוחות הפועלים במהלך ההתנגשות שמרניים. במהלך ההתנגשות, האנרגיה הקינטית הופכת בקצרה לאנרגיה פוטנציאלית ואז חזרה לאנרגיה קינטית. האנרגיות הקינטיות בהתאמה משתנות, אך הסכום נשאר קבוע.

התנגשויות אלסטיות בצורה מושלמת הן נדירות, אם כי כדורי ביליארד הם קירוב טוב למדי, וכך גם התנגשויות המתרחשות בין מולקולות גז אידיאליות.

זעזועים אלסטיים בממד אחד

הבה נבחן התנגשות של שני חלקיקים מזה בממד יחיד; כלומר החלקיקים האינטראקציה נעים, למשל, לאורך ציר ה- x. נניח שיש להם המונים m ₁ ו- m ₂ . המהירות הראשונית של כל אחת מהן היא u _{1 ו-} u ₂ בהתאמה. המהירות הסופית היא v ₁ ו- v ₂ .

אנו יכולים לוותר על סימון הווקטור, מכיוון שהתנועה מתבצעת לאורך ציר ה- x, אולם הסימנים (-) ו- (+) מציינים את כיוון התנועה. מצד שמאל שלילי ומימין חיובי, על פי אמנה.

פורמולה להתנגשויות אלסטיות

לכמות התנועה

לאנרגיה קינטית

כל עוד ידועים ההמונים והמהירות הראשונית, ניתן לקבץ מחדש את המשוואות כדי למצוא את המהירות הסופית.

הבעיה היא שבאופן עקרוני, יש צורך לבצע מעט אלגברה מייגעת למדי, מכיוון שהמשוואות לאנרגיה קינטית מכילות את ריבועי המהירויות, מה שהופך את החישוב למעט מסורבל. האידיאל יהיה למצוא ביטויים שאינם מכילים אותם.

הראשון הוא לוותר על הגורם ½ ולסדר מחדש את שתי המשוואות באופן שמופיע סימן שלילי וניתן לחשב את ההמונים:

בא לידי ביטוי בדרך זו:

פישוט לביטול ריבועי המהירות

כעת עלינו לעשות שימוש בסכום המוצר הבולט על ידי ההבדל שלו במשוואה השנייה, איתה אנו מקבלים ביטוי שאינו מכיל את המשבצות, כפי שרצה במקור:

השלב הבא הוא להחליף את המשוואה הראשונה בשנייה:

ומכיוון שהמונח m ₂ (v ₂ - u ₂ ) חוזר על עצמו משני צידי השוויון, הביטוי האמור מבוטל ונשאר כך:

או אפילו יותר טוב:

מהירויות סופיות v

עכשיו יש לך שתי משוואות לינאריות שקל יותר לעבוד איתן. נחזיר אותם אחד לשני:

הכפלת המשוואה השנייה ב- m ₁ והוספת מונח למונח היא:

וכבר ניתן לנקות את v ₂ . לדוגמה:

מקרים מיוחדים בהתנגשויות אלסטיות

כעת, כאשר משוואות זמינות למהירות הסופית של שני החלקיקים, הגיע הזמן לנתח כמה מצבים מיוחדים.

שתי מסות זהות

במקרה זה m ₁ = m ₂ = שלי:

החלקיקים פשוט מחליפים את מהירותם לאחר ההתנגשות.

שתי המונים זהים, שאחד מהם היה בתחילה במנוחה

שוב m ₁ = m ₂ = m ובהנחה ש- u ₁ = 0:

לאחר ההתנגשות החלקיק שהיה במנוחה רוכש את אותה המהירות של החלקיק שזז, וזה בתורו נעצר.

שתי המוניות שונות, אחת מהן בתחילה במנוחה

במקרה זה נניח כי u ₁ = 0, אך ההמונים שונים:

מה אם m ₁ גדול בהרבה מ- m ₂ ?

קורה ש- m ₁ עדיין במנוחה ו- m ₂ מוחזר באותה המהירות בה הוא השפיע.

מקדם השבה או שלטון הויגנס-ניוטון

בעבר, הקשר הבא בין המהירויות נגזר לשני עצמים בהתנגשות אלסטית: u ₁ - u ₂ = v ₂ - v ₁ . ההבדלים הללו הם המהירות היחסית לפני ההתנגשות ואחריה. באופן כללי, בהתנגשות נכון:

מושג המהירות היחסית מוערך בצורה הטובה ביותר אם הקורא מדמיין שהוא נמצא על אחד החלקיקים ומתוך עמדה זו הוא צופה במהירות שבה החלקיק האחר נע. המשוואה לעיל נכתבת כך:

תרגילים שנפתרו

תרגיל מסויים 1

כדור ביליארד נע שמאלה בגובה 30 ס"מ / שניות ומתנגש חזיתית בכדור אחר זהה שנע ימינה בגובה 20 ס"מ / שניות. לשני הכדורים יש אותה מסת וההתנגשות היא אלסטית לחלוטין. מצא את המהירות של כל כדור לאחר הפגיעה.

פִּתָרוֹן

u ₁ = -30 ס"מ / שניות

u ₂ = +20 ס"מ / שניות

זהו המקרה המיוחד בו שתי מסות זהות מתנגשות בממד אחד באופן אלסטי, ולכן המהירות מתחלפות.

v ₁ = +20 ס"מ / שניות

v ₂ = -30 ס"מ / שניות

תרגיל מסויים 2

מקדם השבת כדור שמקפיץ מהקרקע שווה ל 0.82. אם הוא נופל ממנוחה, לאיזה חלק מגובהו המקורי יגיע הכדור לאחר הקפצה פעם אחת? ואחרי 3 ריבאונדים?

כדור מקפיץ מעל משטח יציב ומאבד גובה עם כל הקפצה. מקור: תוצרת עצמית.

פִּתָרוֹן

האדמה יכולה להיות אובייקט 1 במשוואה עבור מקדם ההשבה. וזה תמיד נשאר במנוחה, כך:

במהירות הזו זה מקפיץ:

סימן + מציין כי מדובר במהירות עולה. ולפיו הכדור מגיע לגובה מרבי של:

כעת הוא חוזר לקרקע במהירות שווה בעוצמה, אך סימן הפוך:

זה משיג גובה מקסימלי של:

חזר לקרקע עם:

קפיצות רצופות

בכל פעם שהכדור מקפיץ ועולה, הכפל שוב את המהירות ב- 0.82:

בשלב זה h ₃ הוא בערך 30% _מהשעה . מה יהיה הגובה לקפיצה השישית ללא צורך לבצע חישובים כה מפורטות כמו הקודמים?

זה יהיה ח ₆ = 0.82 ¹² h _o = 0.092h _o o רק 9% מכלל h _o .

תרגיל מפושט 3

גוש 300 גרם נע צפונה בגובה 50 ס"מ / שניה ומתנגש עם גוש 200 גרם שפונה דרומה במהירות 100 ס"מ / שניות. נניח שההלם אלסטי לחלוטין. מצא את המהירות אחרי ההשפעה.

נתונים

m ₁ = 300 גרם; u ₁ = + 50 ס"מ / שניות

m ₂ = 200 גרם; u ₂ = -100 ס"מ / שניות

תרגיל מפושט 4

מסה של m ₁ = 4 ק"ג משתחררת מהנקודה המצוינת במסלול ללא חיכוך עד שהיא מתנגשת עם m ₂ = 10 ק"ג במנוחה. כמה גבוה עולה m ₁ לאחר ההתנגשות?

פִּתָרוֹן

מכיוון שאין חיכוך, האנרגיה המכנית נשמרת כדי למצוא את המהירות u ₁ איתה m ₁ פוגעת ב m _. תחילה האנרגיה הקינטית היא 0, מכיוון ש m ₁ מתחיל מנוחה. כאשר הוא נע על המשטח האופקי אין לו גובה, כך שהאנרגיה הפוטנציאלית היא 0.

כעת מחושב מהירות m ₁ לאחר ההתנגשות:

פירושו של הסימן השלילי הוא הוחזר. עם המהירות הזו הוא עולה והאנרגיה המכנית נשמרת שוב למצוא את h ', הגובה אליו היא מצליחה לעלות לאחר ההתנגשות:

שימו לב שהוא לא חוזר לנקודת ההתחלה בגובה 8 מ ’. אין לו מספיק אנרגיה מכיוון שהמסה m ₁ ויתרה על חלק מהאנרגיה הקינטית שלו _.

הפניות

1. Giancoli, D. 2006. פיזיקה: עקרונות עם יישומים. 6 ^ה . אולם אד פרנטיס. 175-181
2. Rex, A. 2011. יסודות הפיזיקה. פירסון. 135-155.
3. Serway, R., Vulle, C. 2011. יסודות הפיזיקה. 9 ^נה למידה Cengage. 172-182
4. Tipler, P. (2006) Physics for Science and Technology. המהדורה החמישית כרך 1. הערכה חוזרת. 217-238
5. Tippens, P. 2011. פיזיקה: מושגים ויישומים. מהדורה 7. גבעת מקגרו. 185-195