מרכז הכובד: תכונות, חישוב, דוגמאות - גוּפָנִי - 2025

מרכז כובד של גוף בסדר גודל מדיד הוא הנקודה שבה משקלו נחשב להיות מיושמות. לפיכך זהו אחד המושגים העיקריים של סטטיק.

הגישה הראשונה בבעיות הפיזיקה היסודית מורכבת בהנחה שכל אובייקט יתנהג כמו מסת נקודה, כלומר אין לו ממדים וכל המסה מרוכזת בנקודה אחת. זה תקף לתיבה, מכונית, כוכב לכת או חלקיק תת-אטומי. מודל זה ידוע כמודל החלקיקים.

איור 1. בקפיצה לגובה הספורטאי מצליח כך שמרכז הכובד שלו נמצא מחוץ לגוף. מקור: Pixabay

זו כמובן קירוב, שעובד טוב מאוד עבור יישומים רבים. זו לא משימה קלה לקחת בחשבון את ההתנהגות האישית של אלפי ומיליוני החלקיקים שכל חפץ יכול להכיל.

עם זאת, יש לקחת בחשבון את הממדים האמיתיים של הדברים אם יש להשיג תוצאות שקרובות יותר למציאות. מכיוון שאנו בדרך כלל נמצאים בסביבת כדור הארץ, הכוח המתמיד בכל גוף הוא בדיוק המשקל.

שיקולים למציאת מרכז הכובד

אם יש לקחת בחשבון את גודל הגוף, היכן יש ליישם משקל באופן ספציפי? כשיש לך חפץ רציף בצורת שרירותיות, משקלו הוא כוח המופץ בין כל חלקיקי המרכיב שלו.

תן לחלקיקים האלה להיות m ₁ , m ₂ , m ₃ … כל אחד מהם חווה את כוח הכבידה המתאים לו m ₁ גרם, m ₂ גרם, m ₃ גרם …, כולם מקבילים. זה כן, מכיוון ששדה הכבידה של כדור הארץ נחשב קבוע ברוב המוחלט של המקרים, מכיוון שהחפצים קטנים יחסית לגודל כוכב הלכת והם קרובים לפני השטח שלו.

איור 2. משקל העצם הוא מסה מבוזרת. מקור: תוצרת עצמית.

הסכום הווקטורי של כוחות אלה מביא למשקל העצם, המופעל על הנקודה המכונה מרכז הכובד המצוין בתמונה כ- CG, אשר לאחר מכן עולה בקנה אחד עם מרכז המסה. מרכז המסה בתורו הוא הנקודה בה כל המסה יכולה להיחשב מרוכזת.

למשקל המתקבל יש מגה בעוצמה בה M הוא המסה הכוללת של העצם, וכמובן שהוא מכוון אנכית לכיוון מרכז כדור הארץ. סימון הסיכום מועיל לביטוי המסה הכוללת של הגוף:

מרכז הכובד לא תמיד עולה בקנה אחד עם נקודה חומרית. לדוגמה, CG של טבעת נמצא במרכז הגיאומטרי שלה, שם אין מסה עצמה. אף על פי כן, אם תרצו לנתח את הכוחות הפועלים על חישוק, עליכם להחיל את המשקל על נקודה מדויקת זו.

באותם מקרים שבהם לאובייקט יש צורה שרירותית, אם הוא הומוגני, עדיין ניתן לחשב את מרכז המסה שלו על ידי מציאת מרכז הירידות או מרכז הכובד של הדמות.

כיצד מחושב מרכז הכובד?

באופן עקרוני, אם מרכז הכובד (CG) ומרכז המסה (סנטימטר) חופפים זה לזה כשדה הכבידה אחיד, אז ניתן לחשב את הסנטימטר ולהחיל את המשקל עליו.

הבה נבחן שני מקרים: הראשון הוא מקרה בו חלוקת ההמונים נפרדת; כלומר, כל מסה המרכיבה את המערכת ניתנת לספירה ולהקצות מספר i, כפי שנעשה בדוגמה הקודמת.

הקואורדינטות של מרכז המסה לפיזור מסה נפרד הן:

באופן טבעי סכום כל ההמונים שווה למסה הכוללת של מערכת M, כפי שצוין לעיל.

שלוש המשוואות מצטמצמות לצורה קומפקטית כאשר לוקחים בחשבון את הווקטור r _cm או את וקטור המיקום של מרכז המסה:

ובמקרה של חלוקת מסה רציפה, כאשר החלקיקים הם בעלי גודל דיפרנציאלי ולא ניתן להבחין ביניהם בכדי לספור אותם, מוחלף הסכום על ידי אינטגרל הנוצר על פני הנפח שתפוס האובייקט המדובר:

כאשר r הוא וקטור המיקום של מסה דיפרנציאלית dm וההגדרה של צפיפות המסה שימשה לביטוי ההפרש המוני dm הכלול בהפרש נפח dV:

נכסים

כמה שיקולים חשובים לגבי מרכז המיסה הם כדלקמן:

- למרות שמערכת התייחסות נדרשת בכדי לבסס את העמדות, מרכז המסה אינו תלוי בבחירה שנעשתה במערכת, מכיוון שהיא נכס של האובייקט.

- כאשר לאובייקט יש ציר או מישור סימטריה, מרכז המסה הוא על אותו ציר או מישור. ניצול נסיבה זו חוסך זמן חישוב.

- ניתן ליישם את כל הכוחות החיצוניים הפועלים על העצם על מרכז המסה. מעקב אחר התנועה של נקודה זו נותן סקירה כללית על תנועת האובייקט ומקלה על לימוד התנהגותו.

-מציאת מרכז הכובד של גוף בשיווי משקל סטטי

נניח שברצונך לגרום לגוף בדמות הקודמת להיות בשיווי משקל סטטי, כלומר הוא לא יתרגם או מסתובב סביב ציר סיבוב שרירותי שיכול להיות O.

איור 3. תרשים לחישוב מומנט המשקל ביחס לנקודה O.

דוגמה פתורה

מוט דק מחומר אחיד הוא 6 מ 'ומשקלו 30 N. משקלו של 50 N נתלה בקצה השמאלי ומשקלו של 20 N נתלה בקצה הימני. מצא: א) את גודל הכוח כלפי מעלה הנחוץ לשמירה על איזון המוט, ב) מרכז הכובד של המכלול.

פִּתָרוֹן

תרשים הכוח מוצג באיור הבא. משקלו של המוט מוחל על מרכז הכובד שלו, אשר עולה בקנה אחד עם מרכזו הגיאומטרי. הממד היחיד של הסרגל שנלקח בחשבון הוא אורכו, שכן ההצהרה מדווחת שהוא דק.

איור 4. תרשים הכוחות למוט.

כדי שמערכת משקולות הבר + תישאר בשיווי משקל תרגומי, סכום הכוחות חייב להיות אפס. הכוחות הם אנכיים, אם נשקול עם סימן + ומטה עם סימן - אז:

F- 50 - 20 - 30 N = 0

F = 100 N

כוח זה מבטיח את האיזון התרגומי. נקיטת רגעי הסיבוב של כל הכוחות ביחס לציר שעובר בשמאל הקיצוני של המערכת ומיישמת את ההגדרה:

t = rx F

הרגעים של כל הכוחות הללו סביב הנקודה שנבחרו בניצב למישור הבר:

לכן:

מרכז הכובד של סט הבר + משקולות ממוקם 2.10 מטר מהקצה השמאלי של המוט.

הבדל ממרכז המסה

מרכז הכובד חופף למרכז המסה, כפי שצוין, כל עוד שדה הכבידה של כדור הארץ קבוע עבור כל נקודות העצם שיש לקחת בחשבון. שדה הכבידה של כדור הארץ אינו אלא הערך הידוע והמוכר של g = 9.8 מ / ש ² המופנה אנכית כלפי מטה.

למרות שערך ה- g משתנה עם קו הרוחב והגובה, לרוב אלה אינם משפיעים על העצמים שהם רוב הזמן המדובר. זה יהיה שונה מאוד אם אתה מחשיב גוף גדול בסביבת כדור הארץ, למשל אסטרואיד שנמצא קרוב מאוד לכוכב הלכת.

לאסטרואיד יש מרכז מסה משלו, אולם מרכז הכובד שלו כבר לא צריך לחפוף זה, מכיוון ש- g כנראה יחווה וריאציות משמעותיות בעוצמתו, בהתחשב בגודל האסטרואיד וכי המשקולות של כל חלקיק עשויות להיות לא מקבילות.

הבדל מהותי נוסף הוא שמרכז המיסה נמצא ללא קשר לשאלה אם יש כוח שנקרא משקל המופעל על העצם או לא. זהו מאפיין מהותי של האובייקט החושף בפנינו כיצד המסה שלו מופצת ביחס לגיאומטריה שלו.

מרכז המסה קיים בין אם יש משקל המופעל ובין אם לא. והוא ממוקם באותה תנוחה גם אם האובייקט עובר לכוכב לכת אחר בו שדה הכבידה שונה.

מצד שני, מרכז הכובד קשור בבירור ליישום המשקל, כפי שראינו לאורך כל הפסקאות הקודמות.

דוגמאות למרכז הכובד

מרכז הכובד של חפצים לא סדירים

קל מאוד לגלות היכן נמצא מרכז הכובד של חפץ לא סדיר כמו כוס. ראשית, הוא מושעה מכל נקודה ומשם נמשך קו אנכי (באיור 5 זהו קו הפוקסיה בתמונה השמאלית).

לאחר מכן הוא מושעה מנקודה אחרת ונמשך אנכית חדשה (קו טורקיז בתמונה הימנית). הצומת של שני הקווים הוא מרכז הכובד של הגביע.

איור 5. מיקום CG של ספל. מקור: שונה מ- Pixabay.

איזון חפצים

בואו ננתח את היציבות של משאית שנוסעת על הכביש. כאשר מרכז הכובד נמצא מעל בסיס המשאית, המשאית לא תתהפך. התמונה משמאל היא המיקום הכי יציב.

איור 6. איזון המשאית. מקור: תוצרת עצמית.

גם כאשר המשאית רוכנת ימינה, היא תוכל לחזור למצב שיווי משקל יציב, כמו בציור האמצעי, מאחר והאנכי עדיין עובר בבסיס. עם זאת כאשר הקו הזה יוצא מחוץ למשאית תיפול.

התרשים מציג את הכוחות העומדים על נקודת המשען: נורמליים בצהוב, משקל בירוק ושפשוף סטטי משמאל בפוקסיה. נורמלי וחיכוך מוחלים על ציר הסיבוב, כך שהם לא מפעילים מומנט. לכן הם לא יתרמו להפיכת המשאית.

המשקל נותר, שאכן מפעיל מומנט, למרבה המזל נגד כיוון השעון ואשר נוטה להחזיר את המשאית למצב שיווי המשקל שלה. שימו לב שהקו האנכי עובר דרך משטח התמיכה, שהוא הצמיג.

כאשר המשאית נמצאת במצב הימני הקיצוני, מומנט המשקל משתנה לכיוון השעון. לא ניתן לקבל נגד בפעם אחרת, המשאית תתהפך.

הפניות

1. Bauer, W. 2011. פיזיקה להנדסה ומדעים. כרך 1. מק גריי היל. 247-253.
2. Giancoli, D. 2006. פיזיקה: עקרונות עם יישומים. 6 .. אד פרנטיס הול. 229-238.
3. רזניק, ר '(1999). גוּפָנִי. כרך 1. המהדורה השלישית בספרדית. Compañía עריכה קונטיננטל SA de CV 331-341.
4. Rex, A. 2011. יסודות הפיזיקה. פירסון. 146-155.
5. סירס, זמנסקי. 2016. פיזיקה באוניברסיטה עם פיזיקה מודרנית. 14. עורך כרך 1,340-346.