קירוב ברירת מחדל ועודף: מה זה ודוגמאות - מתמטיקה - 2025

מתחת ומעל הקירוב הוא שיטה נומרית נהגה להקים את הערך של מספר פי סולמות שונים של דיוק. לדוגמה, המספר 235,623 הוא קרוב ל 235.6 כברירת מחדל ו 235.7 בכמות עודפת. אם אנו רואים את העשיריות כגבול שגיאה.

קירוב מורכב מהחלפת נתון מדויק באחר, כאשר החלפה האמורה צריכה להקל על פעולות של בעיה מתמטית, שמירה על מבנה הבעיה ומהותה.

מקור: Pexels.

A ≈B

זה קורא; ב משוער . כאשר "A" מייצג את הערך המדויק ו- "B" את הערך המשוער.

מספרים משמעותיים

הערכים איתם מוגדר מספר משוער ידועים כמספרים משמעותיים. בקירוב הדוגמה צולמו ארבע דמויות משמעותיות. הדיוק של מספר ניתן על ידי מספר הדמויות המשמעותיות המגדירות אותו.

האפסים האינסופיים שיכולים להיות ממוקמים הן מימין והן משמאל למספר אינם נחשבים לדמויות משמעותיות. מיקום הפסיק אינו ממלא שום תפקיד בהגדרת הדמויות המשמעותיות של מספר.

750385

. . . . 00.0075038500. . . .

75.038500000. . . . .

750385000. . . . .

. . . . . 000007503850000. . . . .

במה הוא מורכב?

השיטה די פשוטה; בחר את שגיאת הכריכה, שהיא לא אחרת מאשר הטווח המספרי בו ברצונך לבצע את החיתוך. הערך של טווח זה עומד ביחס ישר לשולי הטעות של המספר המשוער.

בדוגמה לעיל 235,623 יש אלפים (623). ואז התקרב לעשיריות. הערך העודף (235.7) מתאים לערך המשמעותי ביותר בעשיריות מיד לאחר המספר המקורי.

מצד שני, ערך ברירת המחדל (235.6) תואם לערך הקרוב והמשמעותי ביותר בעשיריות שהוא לפני המספר המקורי.

הקירוב המספרי שכיח למדי בפועל עם מספרים. שיטות אחרות הנמצאות בשימוש נרחב הן עיגול וגיזום ; המגיבים לקריטריונים שונים להקצאת הערכים.

שולי הטעות

בעת הגדרת הטווח המספרי אותו יכסה המספר לאחר קירובו, אנו מגדירים את גבול השגיאה המלווה את הדמות. זה יצוין עם מספר קיים או רציונאלי משמעותי בתחום המוקצה.

בדוגמה הראשונית לערכים שהוגדרו על ידי עודף (235.7) וברירת מחדל (235.6) יש שגיאה משוערת של 0.1. במחקרים סטטיסטיים והסתברות מטופלים בשני סוגים של טעויות ביחס לערך המספרי; שגיאה מוחלטת ושגיאה יחסית.

מאזניים

הקריטריונים לקביעת טווחי קירוב יכולים להיות משתנים מאוד וקשורים קשר הדוק למפרטי האלמנט שיש לקרבו. במדינות עם אינפלציה גבוהה, הקירובים העודפים מתעלמים ממגוון מספרי, מכיוון שאלו נמוכים מהסולם האינפלציוני.

באופן זה, באינפלציה העולה על 100%, המוכר לא יתאים מוצר מ- 50 $ ל- 55 $ אלא יקרב אותו ל- 100 $, ובכך יתעלם מהיחידות והעשרות על ידי התקרבות ישירה למאה.

באמצעות המחשבון

מחשבונים קונבנציונליים מביאים איתם את מצב ה- FIX, בו המשתמש יכול להגדיר את מספר המקומות העשרוניים שהוא רוצה לקבל בתוצאות שלהם. זה יוצר טעויות שיש לקחת בחשבון בעת ​​ביצוע חישובים מדויקים.

קירוב מספרים לא הגיוניים

ערכים מסוימים הנמצאים בשימוש נרחב בפעולות מספריות שייכים לקבוצת המספרים הלא רציונליים, שהמאפיין העיקרי שלהם הוא להיות מספר בלתי מוגדר של מספרים עשרוניים.

מקור: פיקסלים.

ערכים כמו:

• π = 3.141592654….
• e = 2.718281828 …
• √2 = 1.414213562 …

הם נפוצים בניסוי ויש להגדיר את ערכיהם בטווח מסוים, תוך התחשבות בשגיאות האפשריות שנוצרו.

בשביל מה הם מיועדים?

במקרה של חלוקה (1 ÷ 3), הוא נצפה באמצעות ניסויים, הצורך לבסס קיצוץ במספר הפעולות שבוצעו להגדרת המספר.

1 ÷ 3 = 0.333333. . . . . .

1 ÷ 3 3/10 = 0.3

1 ÷ 3 33/100 = 0.33

1 ÷ 3 333/1000 = 0.333

1 ÷ 3 3333/10000 = 0.3333

1 ÷ 3 333333. . . . . / 10000. . . . . = 0.333333. . . . .

מוצג פעולה שניתן להנציח אותה ללא הגבלת זמן, ולכן יש צורך בקירוב בשלב מסוים.

במקרה של:

1 ÷ 3 333333. . . . . / 10000. . . . . = 0.333333. . . . .

עבור כל נקודה שנקבעה כשולי שגיאה, יתקבל מספר הנמוך מהערך המדויק של (1 ÷ 3). באופן זה, כל הקירובים שבוצעו בעבר הם קירוב ברירת מחדל של (1 ÷ 3).

דוגמאות

דוגמא 1

1. איזה מהמספרים הבאים הוא קירוב ברירת מחדל של 0.0127

• 0.13
• 0.012; זהו קירוב ברירת מחדל של 0.0127
• 0.01; זהו קירוב ברירת מחדל של 0.0127
• 0.0128

דוגמא 2

1. איזה מהמספרים הבאים הוא קירוב עודף של 23,435

• 24; הוא קירוב של עודף של 23,435
• 23.4
• 23.44; הוא קירוב של עודף של 23,435
• 23.5; הוא קירוב של עודף של 23,435

דוגמא 3

1. הגדר את המספרים הבאים באמצעות קירוב ברירת מחדל , כאשר השגיאה שצוינה מוגבלת.

• 547.2648…. במשך אלפים, מאיות ועשרות.

אלפים: האלפים תואמים את 3 הספרות הראשונות אחרי הפסיק, שם אחרי 999 מגיעה היחידה. אנו ממשיכים להגיע ל- 547,264 בערך .

מאות: מסומן על ידי 2 הספרות הראשונות אחרי הפסיק, על המאות להיפגש, 99 כדי להגיע לאחדות. בדרך זו היא מתקרבת כברירת מחדל ל- 547.26.

עשרות: במקרה זה גבול השגיאה גבוה בהרבה מכיוון שטווח הקירוב מוגדר בתוך המספרים השלמים. כשאתה משוער כברירת מחדל בעשרה אתה מקבל 540.

דוגמא 4

1. הגדר את המספרים הבאים באמצעות קירוב עודף , כאשר השגיאה שצוינה מוגבלת.

• 1204,27317 לעשיריות, מאות ואחת.

עשיריות: מתייחס לספרה הראשונה אחרי הפסיק, שם היחידה מורכבת אחרי 0.9. התקרבות לעשיריות העודפות נותנת 1204.3 .

מאות: שוב נצפתה גבול שגיאה שהטווח שלו נמצא בתוך המספרים השלמים של הדמות. קירוב מאות עודפים נותן 1300 . נתון זה שונה משמעותית מ- 1204.27317. מסיבה זו, בדרך כלל לא משתמשים בקירובים על ערכים שלמים.

יחידות: על ידי גישה מוגזמת ליחידה מתקבל 1205.

דוגמא 5

1. תופרת חותכת באורך של בד 135.3 סנטימטרים לבצע 7855 סנטימטר ² דגל . כמה הצד השני ימדוד אם תשתמש בסרגל קונבנציונאלי שמסמן עד מילימטרים.

קירב את התוצאות לפי עודף ופגם .

שטח הדגל מלבני ומוגדר על ידי:

A = צד x צד

צד = A / צד

צד = 7855 ס"מ ² / 135.3 ס"מ

צד = 58.05617147 ס"מ

עקב הערכת הכלל נוכל להשיג נתונים עד מילימטרים, התואמים לטווח העשרון ביחס לסנטימטר.

לכן 58 ס"מ הם קירוב ברירת מחדל.

ואילו 58.1 הוא קירוב עודף.

דוגמא 6

1. הגדירו 9 ערכים שיכולים להיות מספרים מדויקים בכל אחת מהקרובים:

• 34,071 תוצאות מאלפי אלפים בערך כברירת מחדל

34.07124 34.07108 34.07199

34.0719 34.07157 34.07135

34.0712 34.071001 34.07176

• 0.012 תוצאות מאלפי אלפים בערך כברירת מחדל

0.01291 0.012099 0.01202

0.01233 0.01223 0.01255

0.01201 0.0121457 0.01297

• 23.9 תוצאות משוער עשיריות עודפות

23.801 23.85555 23.81

23.89 23.8324 23.82

23,833 23,84 23,80004

• 58.37 היא התוצאה של קירוב מאית ידי עודף

58.3605 58.36001 58.36065

58,3655 58,362 58,363

58.3623 58.361 58.3634

דוגמא 7

1. אומדן של כל מספר לא הגיוני בהתאם לכבול השגיאה שצוין:

• π = 3.141592654….

אלפים כברירת מחדל π = 3.141

אלפים לפי עודף π = 3.142

מאות כברירת מחדל π = 3.14

מאות העודפות π = 3.15

עשיריות כברירת מחדל π = 3.1

עשיריות בעודף π = 3.2

• e = 2.718281828 …

אלפים כברירת מחדל e = 2.718

אלפים לפי עודף e = 2.719

מאות כברירת מחדל e = 2.71

מאות העודפות e = 2.72

עשיריות כברירת מחדל e = 2.7

עשיריות בעודף e = 2.8

• √2 = 1.414213562 …

אלפים כברירת מחדל √2 = 1.414

אלפים לפי עודף √2 = 1.415

מאות כברירת מחדל √2 = 1.41

מאות העודפים √2 = 1.42

עשיריות כברירת מחדל √2 = 1.4

עשיריות בעודף √2 = 1.5

• 1 ÷ 3 = 0.3333333. . . . .

אלפים כברירת מחדל 1 ÷ 3 = 0.332

אלפים העודפים 1 ÷ 3 = 0.334

מאות כברירת מחדל 1 ÷ 3 = 0.33

מאות מעל 1 ÷ 3 = 0.34

עשיריות כברירת מחדל 1 ÷ 3 = 0.3

עשיריות בעודף 1 ÷ 3 = 0.4

הפניות

1. בעיות בניתוח מתמטי. פיוטר בילר, אלפרד וויטקובסקי. אוניברסיטת ורוצלב. פּוֹלִין.
2. מבוא ללוגיקה ולמתודולוגיה של מדעי הדדוקציה. אלפרד טרסקי, ניו יורק אוקספורד. עיתונות באוניברסיטת אוקספורד.
3. המורה האריתמטי, כרך 29. המועצה הלאומית למורים למתמטיקה, 1981. אוניברסיטת מישיגן.
4. למידה והוראה של תורת המספרים: מחקר בקוגניציה והדרכה / בעריכה של סטיבן ר. קמפבל ורינה זזקיס. פרסום Ablex 88 Post Road West, Westport CT 06881.
5. Bernoulli, J. (1987). Ars Conjectandi- 4ème partie. רואן: IREM.