אנטי-מעריכה: נוסחאות ומשוואות, דוגמאות, תרגילים - מתמטיקה - 2025

F (x) אנטי- פעילתי של פונקציה f (x) נקרא גם פרימיטיבי או פשוט האינטגרל הבלתי מוגדר של הפונקציה האמורה, אם בפרק זמן נתון אני ממלא ש- F '(x) = f (x)

לדוגמה, בואו ניקח את הפונקציה הבאה:

f (x) = 4x ³

אנטי-פירטיבציה לפונקציה זו היא F (x) = x ⁴ , שכן כאשר מבדילים את F (x) באמצעות כלל הנגזרת עבור כוחות:

אנו משיגים בדיוק f (x) = 4x ³ .

עם זאת, זוהי רק אחת מרבות האנטי-אנטי-פעילויות של f (x), מאחר ופונקציה אחרת זו: G (x) = x ⁴ + 2 היא גם זו, מכיוון שכאשר מבדילים את G (x) ביחס ל- x, הדבר מתקבל גב f (x).

בוא נבדוק את זה:

זכור כי הנגזרת של קבוע היא 0. לכן , אנו יכולים להוסיף כל קבוע למונח x ⁴ והנגזרת שלו תישאר 4x ³ .

מסקנה כי כל פונקציה של הצורה הכללית F (x) = x ⁴ + C, כאשר C היא קבועה אמיתית, משמשת כתרופת נגד של f (x).

הדוגמה הממחישה לעיל יכולה לבוא לידי ביטוי כך:

dF (x) = 4x ³ dx

האינטגרל האנטי-פעיל או הבלתי מוגדר בא לידי ביטוי בסמל ∫, לפיכך:

F (x) = ∫4x ³ dx = x ⁴ + C

כאשר הפונקציה f (x) = 4x ³ נקראת integrand, ו- C הוא קבוע האינטגרציה.

דוגמאות לתרופות נגד-תרופות

איור 1. האנטי-איברייטיב אינו אלא אינטגרל בלתי מוגדר. מקור: Pixabay.

מציאת אנטי-פירטיב של פונקציה היא פשוטה במקרים מסוימים שבהם הנגזרות ידועות. לדוגמה, תן לפונקציה f (x) = sin x, אנטי-פיריב עבורה היא פונקציה אחרת F (x), כך שכאשר נבדל אותה נקבל f (x).

פונקציה זו יכולה להיות:

F (x) = - cos x

בואו ונבדוק שזה נכון:

F´ (x) = (- cos x) ´ = - (-sen x) = sin x

לכן אנו יכולים לכתוב:

∫sen x dx = -cos x + C

בנוסף להכרת הנגזרים, ישנם כמה כללי אינטגרציה בסיסיים ופשוטים למציאת האינטגרל האנטי-מחייתי או הבלתי מוגדר.

תן ל- k להיות קבוע אמיתי, אם כן:

1.- ∫ kdx = k ∫dx = kx + C

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

אם ניתן לבטא פונקציה h (x) כתוספת או חיסור של שתי פונקציות, האינטגרל הבלתי מוגדר שלה הוא:

3.- ∫h (x) dx = ∫dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

זה המאפיין של לינאריות.

ניתן לקבוע את שלטון הסמכויות לאינטגרלים בדרך זו:

במקרה של n = -1, נעשה שימוש בכלל הבא:

5.- ∫ x ^-1 dx = ln x + C

קל להראות שהנגזרת של ln x היא בדיוק x ^-1 .

משוואות דיפרנציאליות

משוואה דיפרנציאלית היא כזו שבה הלא ידוע נמצא כנגזרת.

כעת, מהניתוח הקודם, קל להבין כי הפעולה ההפוכה לנגזרת הינה האינטגרל האנטי-מחייב או הבלתי מוגדר.

בואו ל- f (x) = y´ (x), כלומר הנגזרת של פונקציה מסוימת. אנו יכולים להשתמש בסימון הבא כדי לציין נגזר זה:

יוצא מיד כי:

הלא ידוע של משוואת ההפרש הוא הפונקציה y (x), זו שנגזרתה היא f (x). כדי לפתור אותה, הביטוי הקודם משולב משני הצדדים, וזה שווה ערך ליישום האנטי-נגד.

האינטגרל השמאלי נפתר על ידי כלל האינטגרציה 1, עם k = 1, ובכך פותר את הלא ידוע הרצוי:

ומכיוון ש- C הוא קבוע אמיתי, לדעת איזה מהם מתאים בכל מקרה, על ההצהרה להכיל מספיק מידע נוסף כדי לחשב את הערך של C. זה נקרא התנאי הראשוני.

נראה דוגמאות ליישום כל זה בסעיף הבא.

תרגילים אנטי-נגדיים

- תרגיל 1

החל את כללי האינטגרציה כדי להשיג את האנטי-פעילויות הבאות או אינטגרלים בלתי מוגדרים של הפונקציות הנתונות, ופשט את התוצאות ככל האפשר. זה נוח לאמת את התוצאה על ידי נגזרת.

איור 2. תרגילי אנטי-תרופות או אינטגרלים מוגדרים. מקור: Pixabay.

פתרון ל

אנו מיישמים תחילה את כלל 3, מכיוון שהאינטגראנד הוא הסכום של שני מונחים:

∫ (x + 7) dx = ∫ xdx + ∫7dx

לגבי האינטגרל הראשון חל כלל הכוח:

∫ dx = (x ² /2) + C ₁

בכלל האינטגרלי השני מוחל 1, כאשר k = 7:

∫7dx = 7∫dx = 7x + C ₂

ועכשיו התוצאות מתווספות. שני הקבועים מקובצים לאחד, הנקרא באופן כללי C:

∫ (x + 7) DX = (x ² /2) + 7x + C

פיתרון ב

לפי לינאריות אינטגרל זה מתפרק לשלושה אינטגרלים פשוטים יותר, עליהם יוחל כלל הכוח:

∫ (x ^3/2 + x ² + 6) dx = ∫x ^3/2 dx + ∫x ² dx + ∫6 dx =

שים לב שמופיע קבוע של אינטגרציה עבור כל אינטגרל, אך הם נפגשים בשיחה בודדת C.

פיתרון ג

במקרה זה, נוח ליישם את המאפיין החלוקתי של הכפל לפיתוח האינטגרנד. ואז משתמשים בכללי הכוח כדי למצוא כל אינטגרל בנפרד, כמו בתרגיל הקודם.

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫ (3x ² -2x + 3x-2) dx = ∫ (3x ² + x - 2) dx

הקורא הזהיר יציין כי שני המונחים המרכזיים דומים, ולכן הם מופחתים לפני שהם משתלבים:

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫3x ² dx + ∫ x dx + ∫- 2 dx = x ³ + (1/2) x ² - 2x + C

פיתרון ה

אחת הדרכים לפתור את האינטגרל תהיה פיתוח הכוח, כפי שנעשה בדוגמא ד. עם זאת, מכיוון שהמרכיב הוא גבוה יותר, רצוי לשנות את המשתנה, כדי שלא יהיה צורך לבצע פיתוח כה ארוך.

שינוי המשתנה הוא כדלקמן:

u = x + 7

נגזר ביטוי זה לשני הצדדים:

du = dx

האינטגרל הופך לפשוט יותר עם המשתנה החדש, שנפתר עם כלל הכוח:

∫ (x + 7) ⁵ dx = ∫ u ⁵ du = (1/6) u ⁶ + C

לבסוף השינוי מוחזר כדי לחזור למשתנה המקורי:

∫ (x + 7) ⁵ dx = (1/6) (x + 7) ⁶ + C

- תרגיל 2

חלקיק נמצא בתחילה במנוחה ונע לאורך ציר ה- x. תאוצתו עבור t> 0 ניתנת על ידי הפונקציה a (t) = cos t. ידוע שב- t = 0 המיקום הוא x = 3, הכל ביחידות של המערכת הבינלאומית. הוא מתבקש למצוא את המהירות v (t) ואת המיקום x (t) של החלקיק.

פִּתָרוֹן

מכיוון שהתאוצה היא הנגזרת הראשונה של המהירות ביחס לזמן, יש לנו את המשוואה ההפרשית הבאה:

a (t) = v´ (t) = cos t

מכאן נובע:

v (t) = ∫ cos t dt = sin t + C ₁

מצד שני, אנו יודעים שהמהירות היא הנגזרת של המיקום, ולכן אנו משתלבים מחדש:

x (t) = ∫ v (t) dt = ∫ (sin t + C ₁ ) dt = ∫sen t dt + ∫C ₁ dt = - cos t + C ₁ t + C ₂

קבועי השילוב נקבעים על פי המידע שנמסר בהצהרה. מלכתחילה כתוב שהחלקיק היה בתחילה במנוחה, ולכן v (0) = 0:

v (0) = sin 0 + C ₁ = 0

C ₁ = 0

ואז יש לנו x (0) = 3:

x (0) = - cos 0 + C ₁ 0 + C ₂ = - 1 + C ₂ = 3 → C ₂ = 3 + 1 = 4

פונקציות המהירות והמיקום הן בהחלט כאלה:

v (t) = sin t

x (t) = - cos t + 4

הפניות

1. Engler, A. 2019. חשבון אינטגרלי. האוניברסיטה הלאומית של ליטורל.
2. Larson, R. 2010. חישוב משתנה. ט '. מַהֲדוּרָה. מקגרו היל.
3. טקסטים בחינם למתמטיקה. אנטי-תרופות. התאושש מ: math.liibretexts.org.
4. ויקיפדיה. אנטי-מעריכה. התאושש מ: en.wikipedia.org.
5. ויקיפדיה. שילוב בלתי מוגדר. התאושש מ: es.wikipedia.org.