4 תרגילי פקטורינג עם פתרונות - מתמטיקה - 2025

פרוק תרגילים לעזרה להבין את הטכניקה הזו, הרבה השתמשו במתמטיקה נמצאת בתהליך של כתיבת סכום כמוצר של תנאים מסוימים.

המילה פקטוריזציה מתייחסת לגורמים, שהם מונחים שמכפילים מונחים אחרים. לדוגמה, בפקטורציה הראשונית של מספר טבעי, המספרים הראשוניים המעורבים נקראים גורמים.

כלומר, 14 ניתן לכתוב כ- 2 * 7. במקרה זה, הגורמים העיקריים של 14 הם 2 ו 7. הדבר נכון גם לגבי פולינומים של משתנים אמיתיים.

כלומר, אם יש לך פולינום P (x), אז פקטור הפולינום מורכב מכתיבת P (x) כתוצר של פולינומים אחרים בעלי תואר פחות ממידת P (x).

פקטורינג

טכניקות שונות משמשות לפקטור פולינום, כולל מוצרים בולטים וחישוב שורשי הפולינום.

אם יש לנו פולינום מדרגה מדרגה שנייה P (x), ו- x1 ו- x2 הם השורשים האמיתיים של P (x), אז P (x) יכול להיחשב כ- "(x-x1) (x-x2)", כאשר "א" הוא המקדם שמלווה את הכוח הריבועי.

כיצד מחושבים השורשים?

אם הפולינום הוא בדרגה 2, ניתן לחשב את השורשים בעזרת הנוסחה הנקראת "הרזולוציה".

אם הפולינום הוא בדרגה 3 ומעלה, בדרך כלל משתמשים בשיטת רופיני לחישוב השורשים.

4 תרגילי פקטורינג

תרגיל ראשון

גורם לפולינום הבא: P (x) = x²-1.

פִּתָרוֹן

לא תמיד יש צורך להשתמש בפתרון. בדוגמה זו תוכלו להשתמש במוצר יוצא דופן.

מחדש את הפולינום כדלקמן נוכל לראות באיזה מוצר בולט להשתמש: P (x) = x² - 1².

על ידי שימוש במוצר 1 המדהים, ההבדל בין ריבועים, יש לנו כי ניתן לתאר את הפולינום P (x) באופן הבא: P (x) = (x + 1) (x-1).

דבר זה מצביע עוד על כך שהשורשים של P (x) הם x1 = -1 ו- x2 = 1.

תרגיל שני

גורם לפולינום הבא: Q (x) = x³ - 8.

פִּתָרוֹן

יש מוצר מדהים שאומר את הדברים הבאים: a³-b³ = (ab) (a² + ab + b²).

בידיעה זאת ניתן לכתוב את הפולינום Q (x) באופן הבא: Q (x) = x³-8 = x³ - 2³.

כעת, באמצעות המוצר המופלא המתואר, יש לנו שהגורם לפולינום Q (x) הוא Q (x) = x³-2³ = (x-2) (x² + 2x + 2²) = (x-2) (x² + 2x + 4).

הפולינום המריבוע שהתרחש בשלב הקודם נותר עדיין להיות גורם. אבל אם אתה מסתכל על זה, מוצר מס '2 מדהים יכול לעזור; לפיכך, הפקטורציה הסופית של Q (x) ניתנת על ידי Q (x) = (x-2) (x + 2) ².

זה אומר ששורש אחד של Q (x) הוא x1 = 2, וכי x2 = x3 = 2 הוא השורש השני של Q (x), שחוזר על עצמו.

תרגיל שלישי

גורם R (x) = x² - x - 6.

פִּתָרוֹן

כאשר לא ניתן לאתר מוצר מדהים, או שהחוויה הדרושה לתמרון הביטוי אינה זמינה, אנו ממשיכים בשימוש בפתרון. הערכים הם כדלקמן a = 1, b = -1, ו- c = -6.

החלפתם בנוסחה גורמת ל- x = (-1 ± √ ((- 1) ² - 4 * 1 * (- 6))) / 2 * 1 = (-1 ± √25) / 2 = (-1 ± 5 )/שתיים.

מכאן ישנם שני פתרונות הבאים:

x1 = (-1 + 5) / 2 = 2

x2 = (-1-5) / 2 = -3.

לפיכך, ניתן לחשב את R (x) הפולינום כ- R (x) = (x-2) (x - (- 3)) = (x-2) (x + 3).

תרגיל רביעי

גורם H (x) = x³ - x² - 2x.

פִּתָרוֹן

בתרגיל זה, נוכל להתחיל לקחת את הגורם המשותף x ולקבל את H (x) = x (x²-x-2).

לפיכך, נותר רק לבחון את הפולינום המרובע. בשימוש שוב בפתרון, יש לנו שהשורשים הם:

x = (-1 ± √ ((-1) ²-4 * 1 * (- 2))) / 2 * 1 = (-1 ± √9) / 2 = (-1 ± 3) / 2.

לכן שורשי הפולינום המרובע הם x1 = 1 ו- x2 = -2.

לסיכום, הפקטורציה של H הפולינום ניתנת על ידי H (x) = x (x-1) (x + 2).

הפניות

1. 1. Fuentes, A. (2016). מתמטיקה בסיסית. מבוא לחשבון. Lulu.com.
   2. גארו, מ '(2014). מתמטיקה: משוואות ריבועיות: כיצד פותרים משוואה ריבועית. מארילו גרו.
   3. הייסלר, אי.פי, ופול, רס (2003). מתמטיקה לניהול וכלכלה. פירסון חינוך.
   4. Jiménez, J., Rofríguez, M., and Estrada, R. (2005). מתמטיקה 1 SEP. מפתן.
   5. Preciado, CT (2005). קורס מתמטיקה שלישי. פרוגרסו עריכה.
   6. רוק, נ.מ. (2006). אלגברה אני קלה! כל כך קל. צוות רוק עיתונות.
   7. Sullivan, J. (2006). אלגברה וטריגונומטריה. פירסון חינוך.