מהם גבולות טריגונומטריים? (תרגילים נפתרו) - מתמטיקה - 2025

גבולות טריגונומטריות הם גבולות של פונקציות כאלה כי פונקציות אלו נוצרות על ידי פונקציות טריגונומטריות.

ישנן שתי הגדרות שיש לדעת בכדי להבין כיצד לחשב גבול טריגונומטרי.

הגדרות אלה הן:

- מגבלת פונקציה «f» כאשר «x» נוטה ל- «b»: היא מורכבת מחישוב הערך שאליו ניגש f (x) כ- «x» מתקרב ל- «b», מבלי להגיע ל- «b» ».

- פונקציות טריגונומטריות: הפונקציות הטריגונומטריות הן פונקציות הסינוס, הקוסינוס והמשיק, המסומנות על ידי sin (x), cos (x) ושיזוף (x) בהתאמה.

הפונקציות הטריגונומטריות האחרות מתקבלות משלושת הפונקציות שהוזכרו לעיל.

מגבלות פונקציה

כדי להבהיר את המושג מגבלת פונקציות, נמשיך להציג כמה דוגמאות עם פונקציות פשוטות.

- הגבול של f (x) = 3 כאשר "x" נוטה ל "8" שווה ל "3", מכיוון שהפונקציה תמיד קבועה. לא משנה כמה שווה "x", הערך של f (x) תמיד יהיה "3".

- הגבול של f (x) = x-2 כאשר «x» נוטה ל «6» הוא «4». מכיוון שכאשר "x" מתקרב "6" אז "x-2" מתקרב "6-2 = 4".

- הגבול של g (x) = x² כאשר "x" נוטה ל "3" שווה ל 9, מכיוון שכאשר "x" מתקרב "3" אז "x²" מתקרב ל "3² = 9" .

כפי שניתן לראות בדוגמאות הקודמות, חישוב מגבלה מורכב מהערכת הערך שאליו "x" נוטה לפונקציה, והתוצאה תהיה ערך המגבלה, אם כי הדבר נכון רק לגבי פונקציות רציפות.

האם יש גבולות מורכבים יותר?

התשובה היא כן. הדוגמאות שלעיל הן הדוגמאות הפשוטות ביותר לגבולות. בספרי חישוב, תרגילי הגבול העיקריים הם אלה המייצרים אי-קביעות מהסוג 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 ו- (∞) ^ 0.

ביטויים אלה נקראים בלתי מוגדרים מכיוון שהם ביטויים שאינם הגיוניים מבחינה מתמטית.

בנוסף, תלוי בפונקציות הכרוכות במגבלה המקורית, התוצאה המתקבלת בעת פיתרון הבלתי מוגבלות עשויה להיות שונה בכל מקרה.

דוגמאות למגבלות טריגונומטריות פשוטות

כדי לפתור גבולות, כדאי מאוד לדעת להכיר את הגרפים של הפונקציות המעורבות. להלן הגרפים של פונקציות הסינוס, הקוסינוס והמשיק.

כמה דוגמאות למגבלות טריגונומטריות פשוטות הן:

- חשב את גבול החטא (x) כאשר «x» נוטה ל «0».

כשמסתכלים על הגרף ניתן לראות שאם "x" מתקרב ל "0" (משמאל ומשמאל), אז גם גרף הסינוס מתקרב ל "0". לכן גבול החטא (x) כאשר "x" נוטה ל "0" הוא "0".

- חשב את מגבלת cos (x) כאשר «x» נוטה ל «0».

בהתבוננות בגרף הקוסינוס ניתן לראות שכאשר "x" קרוב ל "0", גרף הקוסינוס קרוב ל "1". זה מרמז כי גבול cos (x) כאשר "x" נוטה ל "0" שווה ל "1".

גבול יכול להתקיים (להיות מספר), כמו בדוגמאות הקודמות, אך זה יכול לקרות גם שהוא לא קיים כפי שמוצג בדוגמה הבאה.

- מגבלת השיזוף (x) כאשר «x» נוטה «Π / 2» משמאל הוא שווה ל «+ ∞», כפי שניתן לראות בתרשים. מצד שני, מגבלת השיזוף (x) כאשר "x" נוטה ל "-Π / 2" מימין שווה ל "-∞".

מגבלות טריגונומטריות

שתי זהויות שימושיות מאוד בעת חישוב גבולות טריגונומטריים הן:

- המגבלה של «sin (x) / x» כאשר «x» נוטה ל- «0» שווה ל- «1».

- המגבלה של «(1-cos (x)) / x» כאשר «x» נוטה ל- «0» שווה ל- «0».

זהויות אלה משמשות לעתים קרובות מאוד כאשר יש לך איזושהי אי-קביעות.

תרגילים שנפתרו

פתר למגבלות הבאות באמצעות הזהויות שתוארו לעיל.

- חשב את המגבלה של «f (x) = sin (3x) / x» כאשר «x» נוטה ל «0».

אם הערכה של הפונקציה "f" היא "0", תתקבל אי-קביעות מסוג 0/0. לכן עלינו לנסות ולפתור אי-קביעות זו באמצעות הזהויות שתוארו.

ההבדל היחיד בין מגבלה זו לזהות הוא המספר 3 המופיע בפונקציית הסינוס. על מנת להחיל את הזהות, יש לכתוב מחדש את הפונקציה «f (x)» באופן הבא: «3 * (sin (3x) / 3x)». כעת גם טיעון הסינוס וגם המכנה שווים.

אז כאשר "x" נוטה ל "0", השימוש בזהות נותן "3 * 1 = 3". לכן גבול f (x) כאשר "x" נוטה ל "0" שווה ל "3".

- חשב את המגבלה של «g (x) = 1 / x - cos (x) / x» כאשר «x» נוטה ל «0».

כאשר "x = 0" מוחלף ב- g (x), מתקבלת אי-קביעה מהסוג ∞-∞. כדי לפתור אותה, מופרשים לראשונה השברים, שמניבים "(1-cos (x)) / x".

כעת, ביישום הזהות הטריגונומטרית השנייה יש לנו כי גבול ה- g (x) כאשר «x» נוטה ל- «0» שווה ל- 0.

- חשב את המגבלה של «h (x) = 4tan (5x) / 5x» כאשר «x» נוטה ל «0».

שוב, אם הערכת h (x) ב- "0", תתקבל אי-קביעות מסוג 0/0.

שכתוב מחדש כ- (5x) כחטא (5x) / cos (5x) מביא ל- h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

השימוש בכך שהמגבלה של 4 / cos (x) כאשר "x" נוטה ל "0" שווה ל "4/1 = 4" והזהות הטריגונומטרית הראשונה מתקבלת כי הגבול של h (x) כאשר "x" נוטה "0" שווה ל- "1 * 4 = 4".

תַצְפִּית

לא תמיד קל לפתור גבולות טריגונומטריים. רק דוגמאות בסיסיות הוצגו במאמר זה.

הפניות

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). מתמטיקה פרקלקולוס. פרנטיס הול PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). מתמטיקה של Precalculus: גישה לפיתרון בעיות (2, Illustrated ed.). מישיגן: פרנטיס הול.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). אלגברה וטריגונומטריה עם גיאומטריה אנליטית. פירסון חינוך.
4. Larson, R. (2010). פרקלקולוס (8 עורכים). לימוד Cengage.
5. Leal, JM, & Viloria, NG (2005). גיאומטריה אנליטית. מרידה - ונצואלה: עריכה ונצולנה קליפורניה
6. פרז, CD (2006). חישוב מוקדם. פירסון חינוך.
7. פרסל, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). חשבון (מהדורה תשיעית). אולם פרנטיס.
8. Saenz, J. (2005). חישוב דיפרנציאלי עם פונקציות טרנסצנדנטיות מוקדמות למדע והנדסה (מהדורה שנייה מהדורה). אֲלַכסוֹן.
9. סקוט, קליפורניה (2009). גיאומטריה של המטוס הקרטזיאני, חלק: חרקים אנליטיים (1907) (הדפסה מחודשת). מקור הברק.
10. סאליבן, מ '(1997). חישוב מוקדם. פירסון חינוך.