מספרים רציונליים: מאפיינים, דוגמאות ופעולות - מתמטיקה - 2025

מספרים רציונליים הם כל המספרים ניתן להשיג גם את החלוקה של שני מספרים שלמים. דוגמאות למספרים רציונליים הם: 3/4, 8/5, -16/3 וכאלה המופיעים באיור הבא. במספר רציונאלי מצוין המנה, שכן ניתן לעשות זאת מאוחר יותר במידת הצורך.

הדמות מייצגת כל חפץ, עגול לנוחות רבה יותר. אם אנחנו רוצים לחלק אותו לשני חלקים שווים, כמו בימין, נשארו לנו שני חצאים וכל אחד שווה 1/2.

איור 1. מספרים רציונליים משמשים לחלוקת השלם למספר חלקים. מקור: Freesvg.

על ידי חלוקתו ל -4 חלקים שווים, נקבל 4 חלקים וכל אחד מהם שווה 1/4, כמו בתמונה במרכז. ואם יש לחלק אותו ל 6 חלקים שווים, כל חלק יהיה שווה 1/6, אותו אנו רואים בתמונה משמאל.

כמובן שנוכל גם לחלק אותו לשני חלקים לא שווים, למשל נוכל לשמור על 3/4 חלקים ולחסוך 1/4 חלק. חלוקות אחרות אפשריות גם הן, כגון 4/6 חלקים ו- 2/6 חלקים. הדבר החשוב הוא שסכום כל החלקים הוא 1.

בדרך זו ניכר כי עם מספרים רציונליים ניתן לחלק, לספור ולחלק דברים כמו אוכל, כסף, אדמה וכל מיני חפצים. וכך מורחב מספר הפעולות הניתנות לביצוע עם מספרים.

ניתן לבטא מספרים רציונליים בצורה עשרונית, כפי שניתן לראות בדוגמאות הבאות:

1/2 = 0.5

1/3 = 0.3333… ..

3/4 = 0.75

1/7 = 0.142857142857142857 ………

בהמשך נציין כיצד לעבור מצורה אחת לאחרת עם דוגמאות.

מאפיינים של מספרים רציונליים

למספרים רציונליים, שאותם נקבע עם האות Q, יש את המאפיינים הבאים:

-Q כולל מספרים טבעיים N ומספרים שלמים Z.

אם לוקחים בחשבון שכל מספר a יכול לבוא לידי ביטוי כמנה המנותק בינו לבין 1, קל לראות שבין המספרים הרציונליים ישנם גם מספרים טבעיים ומספרים שלמים.

לפיכך, ניתן לכתוב את המספר הטבעי 3 כשבריר, וגם -5:

3 = 3/1

-5 = -5/1 = 5 / -1 = - (5/1)

באופן זה, Q היא קבוצה מספרית הכוללת מספר גדול יותר של מספרים, דבר הכרחי מאוד, מכיוון שהמספרים ה"עגולים "אינם מספיקים כדי לתאר את כל הפעולות האפשריות שיש לבצע.

ניתן להוסיף מספרים רציונליים, לחסרם, להכפילם ולחלקם, ותוצאת הפעולה היא מספר רציונאלי: 1/2 + 1/5 = 7/10; 1/2 - 1/5 = 3/10; (1/2) x (1/5) = 1/10; (1/2) ÷ (1/5) = 5/2.

בין כל זוג מספרים רציונליים, תמיד ניתן למצוא מספר רציונאלי אחר. למעשה בין שני מספרים רציונליים יש אינסוף מספרים רציונליים.

לדוגמה, בין הרציונלים 1/4 ל- 1/2 הם המונחים 3/10, 7/20, 2/5 (ורבים נוספים), אותם ניתן לאמת על ידי ביטוים כעשרונים.

-כל מספר רציונאלי יכול לבוא לידי ביטוי כ: i) מספר שלם או ii) עשרון מוגבל (קפדני) או תקופתי: 4/2 = 2; 1/4 = 0.25; 1/6 = 0.16666666 ……

ניתן לייצג את אותו המספר על ידי שברים שווה ערך אינסופית וכולם שייכים לשאלה. בואו נראה קבוצה זו:

כולם מייצגים את 0.428571 העשרוני …

מכל השברים המקבילים המייצגים את אותו המספר, השבר הבלתי ניתן להפחתה, הפשוט ביותר מבין כולם, הוא הנציג הקנוני של אותו מספר. הנציג הקנוני של הדוגמא שלמעלה הוא 3/7.

איור 2.- הערך Q של המספרים הרציונליים. מקור: Wikimedia Commons. Uvm Eduardo Artur / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0).

דוגמאות למספרים רציונליים

-שברר שברים, אלה שבהם המונה הוא פחות מהמכנה:

-שברים לא נכונים שהמונה שלהם גדול מהמכנה:

מספרים טבעיים ומספרים שלמים:

-שברים שקולים:

ייצוג עשרוני של מספר רציונאלי

כאשר המונה מחולק על ידי המכנה, נמצא הצורה העשרונית של המספר הרציונלי. לדוגמה:

2/5 = 0.4

3/8 = 0.375

1/9 = 0.11111 …

6/11 = 0.545454 …

בשתי הדוגמאות הראשונות, מספר המקומות העשרוניים מוגבל. המשמעות היא שכאשר החלוקה נעשית, סוף סוף מתקבל שארית של 0.

לעומת זאת, בשניים הבאים מספר המקומות העשרוניים הוא אינסופי וזו הסיבה שמונחים אליפסה. במקרה האחרון יש דפוס בעשרונים. במקרה של השבריר 1/9 המספר 1 חוזר על עצמו ללא הגבלת זמן ואילו ב- 6/11 הוא 54.

כאשר זה קורה, אומרים שהעשרוני הוא תקופתי ומצוין על ידי מגן כזה:

הפוך עשרוני לשבריר

אם זהו מספר עשרוני מוגבל, הפסיק פשוט מחוסל והמכנה הופך ליחידה ואחריו מספרים רבים ככל שיש דמויות בעשרון. לדוגמה, כדי להפוך את ה- 1.26 העשרוני לשבר, כתוב אותו כך:

1.26 = 126/100

ואז השבר שנוצר מפשט למקסימום:

126/100 = 63/50

אם העשרון אינו מוגבל, נקבע לראשונה התקופה. לאחר מכן, נעשים אחר הצעדים הבאים כדי למצוא את השבר המתקבל:

המונה הוא החיסור בין המספר (ללא פסיק או שקע) לחלק שאין לו את הנטען.

המכנה הוא מספר שלם עם מספר 9 ככל שיש דמויות מתחת למעגל הגמיש, וכמה שיותר 0 יש דמויות בחלק העשרוני שאינן נמצאות מתחת למעגל.

בואו לעקוב אחר נוהל זה כדי להפוך את המספר העשרוני 0.428428428… לשבריר.

ראשית, מזוהה התקופה שהיא הרצף שחוזר על עצמו: 428.

ואז פעולת חיסור המספר ללא פסיק או מבטא נעשית: 0428 מהחלק שאין בו מעקף, שהוא 0. לפיכך הוא 428 - 0 = 428.

-המכנה בנוי, בידיעה שמתחת למעגל העקיפה יש 3 דמויות וכולם תחת הריתום. לכן המכנה הוא 999.

בסופו של דבר השבר נוצר ומפשט במידת האפשר:

0.428 = 428/999

לא ניתן לפשט יותר.

פעולות עם מספרים רציונליים

- הוסף וחסר

שברים עם אותו מכנה

כאשר לשברים יש מכנה זהה, הוספת ו / או חיסור שלהם קלה מאוד, מכיוון שהמונים פשוט מתווספים בצורה אלגברית, ומשאירים את אותם תוספות כמו המכנה של התוצאה. לבסוף, אם הדבר אפשרי, זה מפושט.

דוגמא

בצע את התוספת האלגברית הבאה ופשט את התוצאה:

השבר שהתקבל הוא כבר בלתי ניתן להפחתה.

שברים עם מכנים שונים

במקרה זה, התוספות מוחלפות בשברים שקולים עם אותו מכנה ואז הנוהל שכבר תואר מתבצע.

דוגמא

הוסף אלגברית את המספרים הרציונליים הבאים, ופשט את התוצאה:

השלבים הם:

-קבע את הכפולה הנפוצה ביותר (lcm) של המכנים 5, 8 ו- 3:

ס"מ (5,8,3) = 120

זה יהיה המכנה של השבר המתקבל מבלי לפשט.

עבור כל שבריר: חלקו את ה- LCM במכנה והכפלו במונה. התוצאה של פעולה זו ממוקמת, עם הסימן שלה בהתאמה, במונה של השבר. בדרך זו מתקבל שבר שווה ערך למקור, אך עם ה- LCM כמכנה.

לדוגמה, עבור השבר הראשון, המונה בנוי כך: (120/5) x 4 = 96 ואנחנו מקבלים:

המשך באותו אופן עבור שאר השברים:

לבסוף, השברים המקבילים מוחלפים מבלי לשכוח את הסימן שלהם והסכום האלגברי של המספרים מתבצע:

(4/5) + (14/8) - (11/3) + 2 = (96/120) + (210/120) - (440/120) + (240/120) =

= (96 + 210-440 + 24) / 120 = -110 / 120 = -11/12

- כפל וחילוק

הכפל והחלוקה נעשים לפי הכללים המוצגים להלן:

איור 3. איורים 3. הכפל וחלוקת מספרים רציונליים. מקור: פ. זפטה.

בכל מקרה, חשוב לזכור כי הכפל הוא קומוטטיבי, מה שאומר שסדר הגורמים אינו משנה את המוצר. זה לא קורה בחלוקה, ולכן יש להקפיד לכבד את הסדר בין דיבידנד למחלק.

דוגמא 1

בצע את הפעולות הבאות ופשט את התוצאה:

א) (5/3) x (8/15)

ב) (-4/5) ÷ (2/9)

תשובה ל

(5/3) x (8/15) = (5 x 8) / (3 x 15) = 15/120 = 1/8

תשובה ב

(-4/5) ÷ (2/9) = (-4 x 9) / (5 x 2) = -36 / 10 = -18/5

דוגמא 2

ללואיסה היו 45 דולר. עשירית ממנו בילה ברכישת ספר ו -2 / 5 ממה שנשאר על חולצת טריקו. כמה כסף נשארה לואיסה? לבטא את התוצאה כשבריר בלתי ניתן לצמצום.

פִּתָרוֹן

עלות הספר (1/10) x $ 45 = 0.1 x $ 45 = $ 4.5

לכן, לואיסה נותרה עם:

45 - 4.5 $ = 40.5 $

בכסף הזה לואיסה ניגשה לחנות הבגדים וקנתה את החולצה, שמחירה הוא:

(2/5) x $ 40.5 = $ 16.2

כעת יש לואיסה בפורטפוליו שלה:

40.5 - 16.2 $ = 24.3 $

כדי לבטא את זה כשבריר זה כתוב כך:

24.3 = 243/10

זה בלתי ניתן להפחתה.

הפניות

1. Baldor, A. 1986. חשבון. מהדורות והפצות קודקס.
2. Carena, M. 2019. מדריך למתמטיקה. האוניברסיטה הלאומית של ליטורל.
3. Figuera, J. 2000. מתמטיקה 8. Ediciones Co-Bo.
4. Jiménez, R. 2008. אלגברה. אולם פרנטיס.
5. המספרים הרציונליים. התאושש מ: Cimanet.uoc.edu.
6. מספר רציונלי. התאושש מ: webdelprofesor.ula.ve.