חוקי מורגן - מתמטיקה - 2026

פתאום אני עיניים של מורגן הם כללי היסק בשימוש בלוגיקה היגדים, הקובעים מהי התוצאה של שלילת ניתק וכן בשילוב של הצעות או משתנה קשור. חוקים אלה הוגדרו על ידי המתמטיקאי אוגוסטוס דה מורגן.

החוקים של מורגן מייצגים כלי שימושי מאוד להפגנת תקפות ההנמקה המתמטית. מאוחר יותר הם כללו במסגרת מושג התפאורה של המתמטיקאי ג'ורג 'בול.

הכללה זו שנעשה על ידי בולי שקולה לחלוטין לחוקי מורגן הראשוניים, אך היא פותחה במיוחד עבור מערכות ולא להצעות. הכללה זו ידועה גם כחוקי מורגן.

סקירת היגיון הצעות

לפני שבוחנים מהם החוקים של מורגן באופן ספציפי ואיך משתמשים בהם, כדאי לזכור כמה תפיסות בסיסיות של היגיון הצעות. (לפרטים נוספים עיינו במאמר בנושא היגיון הצעות).

בתחום הלוגיקה המתמטית (או ההצעתית), מסקנה היא מסקנה המופקת ממערכת של הנחות יסוד או השערות. מסקנה זו, יחד עם הנחות היסוד שהוזכרו לעיל, מולידה מה שמכונה הנמקה מתמטית.

יש להפגין או להכחיש נימוקים כאלה; כלומר, לא כל ההסקנות או המסקנות בהנמקה מתמטית תקפות.

שגיאה

מסקנה מוטעית שנעשית מתוך השערות מסוימות המוערכות כנכונות ידועה ככישלון. לפגמים יש את המוזרות שהם טיעונים שנראים נכונים, אך מבחינה מתמטית הם אינם.

ההיגיון ההצעותי אחראי במדויק על פיתוח ומתן שיטות שבאמצעותם, ללא כל עמימות, ניתן לאמת או להפריך נימוקים מתמטיים; כלומר, להסיק מסקנה חוקית מהנחות. שיטות אלה מכונות כללי הסקה, שחוקי מורגן הם חלק מהם.

הצעות

המרכיבים החיוניים בלוגיקה הצעתית הם הצעות. הצעות הן הצהרות שניתן לומר כי הן תקפות או לא, אך אינן יכולות להיות נכונות או שקריות בעת ובעונה אחת. לא אמורה להיות שום עמימות בעניין זה.

כשם שניתן לשלב מספרים באמצעות פעולות של חיבור, חיסור, כפל וחילוק, ניתן להפעיל הצעות באמצעות הקשרים (או המחברים) ההגיוניים הידועים: שלילה (¬, "לא"), הפרדה (V , "או"), צירוף (Ʌ, "ו-"), מותנה (→, "אם …, אז …") ותנאי שני (it, "אם ורק אם").

כדי לעבוד באופן כללי יותר, במקום לשקול הצעות ספציפיות, נלקחים בחשבון משתני הצעה המייצגים הצעות כלשהן, והם בדרך כלל מסומנים באותיות קטנות p, q, r, s וכו '.

פורמולה של הצעה היא שילוב של משתנים להצעה באמצעות כמה מקשרים קישוריים לוגיים. במילים אחרות, מדובר בהרכב של משתנים הצעות. בדרך כלל הם מסומנים באותיות יווניות.

נאמר שנוסחה הצעתית מרמזת באופן הגיוני על אחרת כאשר האחרונה נכונה בכל פעם שהראשון נכון. זה מצוין על ידי:

כאשר ההשלכה הלוגית בין שתי נוסחאות הצעה היא הדדית - כלומר כאשר ההשלכה הקודמת תקפה גם במובן ההפוך - אומרים שהנוסחאות שוות ערך מבחינה הגיונית, והיא מצוינת על ידי

שוויון הגיוני הוא סוג של שוויון בין נוסחאות הצעה ומאפשר להחליף את האחד בשני במידת הצורך.

חוקי מורגן

חוקי מורגן מורכבים משני שוויון הגיוני בין שתי צורות הצעה, כלומר:

חוקים אלה מאפשרים להפריד בין שלילת צירוף או צירוף, כשלילה של המשתנים המעורבים.

ניתן לקרוא את הראשון באופן הבא: שלילת צירוף שווה לחיבור השליליות. והשני נכתב כך: שלילת צירוף היא צירוף של שלילות.

במילים אחרות, הכחשת צירוף של שני משתנים הצעתיים שקולה לחיבור השליליות של שני המשתנים. כמו כן, הכחשת צירוף של שני משתנים הצעתיים שקולה לחיבור השליליות של שני המשתנים.

כאמור, החלפת שוויון הגיוני זה עוזרת להוכיח תוצאות חשובות, יחד עם שאר כללי ההסקה הקיימים. בעזרת אלה ניתן לפשט נוסחאות הצעה רבות, כך שיהיו מועילות יותר לעבוד איתן.

להלן דוגמה להוכחה מתמטית תוך שימוש בכללי הסקה, כולל חוקים של מורגן. באופן ספציפי, מוצג כי הנוסחה:

זה שווה ל:

האחרון פשוט יותר להבין ולהתפתח.

הפגנה

ראוי להזכיר כי ניתן להוכיח את תוקף החוקים של מורגן באופן מתמטי. דרך אחת היא להשוות בין טבלאות האמת שלך.

סטים

ניתן לפתח את אותם כללי הסקה ותפיסות ההיגיון המיושמים על הצעות גם בהתחשב בקבוצות. זה מה שמכונה אלגברה בוליאית, על שם המתמטיקאי ג'ורג 'בולי.

כדי להבדיל בין המקרים, יש צורך לשנות את ההערה ולהעביר לסטים, את כל התפיסות שכבר נראו של היגיון הצעות.

סט הוא אוסף של חפצים. ערכות מסומנות באותיות גדולות A, B, C, X, … ואלמנטים של קבוצה מסומנים באותיות קטנות a, b, c, x וכו '. כאשר אלמנט a שייך לקבוצה X, הוא מצוין על ידי:

כאשר הוא לא שייך ל- X, הסימון הוא:

הדרך לייצג סטים היא על ידי הצבת האלמנטים שלהם בתוך הפלטה. לדוגמה, קבוצת המספרים הטבעיים מיוצגת על ידי:

ניתן לייצג ערכות גם ללא כתיבת רשימה מפורשת של האלמנטים שלהם. הם יכולים לבוא לידי ביטוי בצורה {:}. המעי הגס נקרא "כזה". משמאל לשתי הנקודות מונח משתנה המייצג את האלמנטים של הסט, ולצד ימין ממוקם המאפיין או התנאי שהם עומדים. זה:

לדוגמה, קבוצת המספרים השלמים הגדולים מ- -4 יכולה להתבטא כ:

או באופן שווה, ומקוצר יותר, כ:

באופן דומה, הביטויים הבאים מייצגים את קבוצות המספרים האי-זוגיים והאחידים בהתאמה:

איחוד, צומת, ומשלים לסטים

בשלב הבא נראה את האנלוגים של קישוריות לוגיות במקרה של סטים, שהם חלק מהפעולות הבסיסיות בין מערכות.

איחוד וצומת

האיחוד והצומת של הסטים מוגדרים, בהתאמה, כדלקמן:

לדוגמה, שקול את הסטים:

אז, עליכם:

מַשׁלִים

השלמה של סט נוצרת על ידי האלמנטים שאינם שייכים לסט האמור (מאותו סוג שהמקור מייצג). השלמה של סט A מסומנת על ידי:

לדוגמה, בתוך מספרים טבעיים, השלמה של קבוצת המספרים השווים היא זו של מספרים אי-זוגיים, ולהיפך.

כדי לקבוע את השלמת הסט, הסט האוניברסלי או העיקרי של האלמנטים הנחשבים חייב להיות ברור מההתחלה. לדוגמה, זה לא אותו דבר לשקול את השלמת הסט על מספרים טבעיים כמו על מספרים רציונליים.

הטבלה שלהלן מציגה את הקשר או האנלוגיה שקיימים בין הפעולות בקבוצות שהוגדרו בעבר לבין הקשרים של ההיגיון ההצעה:

חוקי הסטים של מורגן

לבסוף, חוקי מורגן לגבי סטים הם:

במילים: השלמה של איחוד היא צומת השלמים, והשלמה של צומת היא האיחוד של השלמים.

הוכחה מתמטית לשוויון הראשון תהיה הבאה:

ההוכחה של השנייה מקבילה.

הפניות

1. Almaguer, G. (2002). מתמטיקה 1. לימוזה עריכה.
2. Aylwin, CU (2011). היגיון, סטים ומספרים. Mérida - ונצואלה: מועצת הפרסומים, Universidad de Los Andes.
3. Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., and Soto, A. (1998). מבוא לתורת המספרים. מנוהלת.
4. Castañeda, S. (2016). קורס בסיסי של תורת המספרים. האוניברסיטה הצפונית.
5. Cofré, A., & Tapia, L. (1995). כיצד לפתח נימוקים לוגיים מתמטיים. בית ההוצאה לאור באוניברסיטה.
6. גווארה, מ.ה. (נ '). תורת המספרים. מנוהלת.
7. סרגוסה, AC (sf). תורת המספרים מזל מאזניים עריכה.