רקע היסטורי של גיאומטריה אנליטית - מתמטיקה - 2025

תקדימים היסטוריים של הגיאומטריה האנליטית לחזור המאה ה -17, כאשר פייר דה פרמה ו רנה דקארט הגדיר הרעיון הבסיסי שלה. ההמצאה שלו באה בעקבות המודרניזציה של סימון האלגברה והסגנון האלגברי של פרנסואה וייט.

לתחום זה יש את בסיסיו ביוון העתיקה, בעיקר בעבודותיהם של אפולוניוס ואוקליד, שהשפיעו רבות בתחום זה של המתמטיקה.

הרעיון המהותי העומד מאחורי הגיאומטריה האנליטית הוא שמערכת יחסים בין שני משתנים, כך שאחד הוא פונקציה של השני, מגדירה עקומה.

רעיון זה פותח לראשונה על ידי פייר דה פרמה. בזכות המסגרת החיונית הזו, אייזק ניוטון וגוטפריד לייבניץ הצליחו לפתח את החשבון.

הפילוסוף הצרפתי דקארט גילה גם גישה אלגברית לגיאומטריה, ככל הנראה בכוחות עצמו. עבודתו של דקארט בנושא הגיאומטריה מופיעה בספרו המפורסם שיח על השיטה.

ספר זה מציין כי המצפן והקונסטרוקציות הגיאומטריות בקצה הישר כרוכים בתוספת, חיסור, כפל ושורשים מרובעים.

גיאומטריה אנליטית מייצגת את האיחוד בין שתי מסורות חשובות במתמטיקה: גיאומטריה כחקר הצורה, וחשבון ואלגברה, הקשורים לכמות או למספרים. לכן, גיאומטריה אנליטית היא לימוד תחום הגיאומטריה באמצעות מערכות קואורדינטות.

הִיסטוֹרִיָה

רקע של גיאומטריה אנליטית

הקשר בין גיאומטריה לאלגברה התפתח לאורך כל ההיסטוריה של המתמטיקה, אם כי הגיאומטריה הגיעה לשלב מוקדם יותר של בגרות.

לדוגמה, המתמטיקאי היווני אוקליד הצליח לארגן תוצאות רבות בספרו הקלאסי The Elements.

אבל אפולוניוס היווני הקדוש מפרגה פרה שחזה את התפתחות הגיאומטריה האנליטית בספרו "קוניקס". הוא הגדיר חרוט כצומת בין חרוט ומישור.

בעזרת תוצאותיו של אוקליד על משולשים דומים ומגנים מעגלים, הוא מצא מערכת יחסים שניתנה על ידי המרחקים מכל נקודה "P" של חרוט לשני קווים בניצב, הציר הראשי של חרוטי, והמשיק בנקודת הסיום של הציר. אפולוניוס השתמש במערכת יחסים זו כדי להסיק מאפיינים בסיסיים של הקונוסים.

ההתפתחות לאחר מכן של מערכות קואורדינטות במתמטיקה עלתה רק לאחר שהתבגרה האלגברה בזכות המתמטיקאים האסלאמיים וההודים.

עד הרנסנס, הגיאומטריה שימשה כדי להצדיק פתרונות לבעיות אלגבריות, אך לא היה הרבה שהאלגברה יכולה לתרום לגיאומטריה.

מצב זה ישתנה עם אימוץ של סימון נוח ליחסים אלגבריים והתפתחות המושג פונקציה מתמטית, שהיה אפשרי כעת.

המאה ה- XVI

בסוף המאה ה -16 הציג המתמטיקאי הצרפתי פרנסואה וייט את התיאור האלגברי השיטתי הראשון, תוך שימוש באותיות לייצוג כמויות מספריות, ידועות ובלתי ידועות.

הוא גם פיתח שיטות כלליות עוצמתיות לעבודה של ביטויים אלגבריים ולפתרון משוואות אלגבריות.

בזכות זה, המתמטיקאים לא היו תלויים לחלוטין בדמויות גיאומטריות ובאינטואיציה הגיאומטרית כדי לפתור בעיות.

אפילו חלק מהמתמטיקאים החלו לנטוש את דרך החשיבה הגיאומטרית הסטנדרטית, לפיה משתנים ליניאריים באורכים וריבועים תואמים אזורים, ואילו משתנים מעוקבים תואמים לנפחים.

הראשונים לנקוט בצעד זה היו הפילוסוף והמתמטיקאי רנה דקארט, ועורך הדין והמתמטיקאי פייר דה פרמט.

יסוד הגיאומטריה האנליטית

דקרט ופרמה הקימו באופן עצמאי גיאומטריה אנליטית בשנות ה- 1630 ואימצו את האלגברה של ויאט לחקר הלוקוס.

מתמטיקאים אלה הבינו שאלגברה היא כלי רב עוצמה בגיאומטריה והמציאו את מה שמכונה כיום גיאומטריה אנליטית.

פריצת דרך אחת שהם עשו הייתה לעלות על Viète באמצעות אותיות כדי לייצג מרחקים משתנים ולא קבועים.

דקארט השתמש במשוואות כדי ללמוד עקומות שהוגדרו גיאומטרית והדגישו את הצורך לשקול עקומות אלגבריות-גרפיות כלליות של משוואות פולינומיות בדרגות "x" ו- "y".

פרמה מצידו הדגיש כי כל קשר בין הקואורדינטות "x" ו- "y" קובע עקומה.

באמצעות רעיונות אלה, הוא ארגן מחדש את התבטאויותיו של אפולוניוס על מונחים אלגבריים והחזיר חלק מיצירותיו האבודות.

פרמה ציין כי ניתן להציב כל משוואה ריבועית ב- "x" ו- "y" בצורה הסטנדרטית של אחד מקטעי החרווט. למרות זאת, פרמט מעולם לא פרסם את יצירתו בנושא.

בזכות ההתקדמות שלהם, מה שארכימדס יכול היה לפתור רק בקושי רב ובמקרים בודדים, פרמט ודקארט יכלו לפתור במהירות ולמספר גדול של עקומות (הידועות כיום כעקומות אלגבריות).

אולם רעיונותיו זכו לקבל קבלה כללית באמצעות מאמצי מתמטיקאים אחרים במחצית השנייה של המאה ה -17.

המתמטיקאים פרנס ואן שוטן, פלורימונד דה ביון, ויוהאן דה ויט סייעו להרחיב את עבודתו של דקארט והוסיפו חומר נוסף וחשוב.

לְהַשְׁפִּיעַ

באנגליה ג'ון וואליס פופולרי את הגיאומטריה האנליטית. הוא השתמש במשוואות כדי להגדיר את הקונוסים ולהפיק את תכונותיהם. למרות שהוא השתמש בקואורדינטות שליליות בחופשיות, היה זה אייזק ניוטון שהשתמש בשני צירים אלכסוניים כדי לחלק את המטוס לארבעה ריבועים.

ניוטון וה גוטפריד לייבניץ הגרמני חוללו מהפכה במתמטיקה בסוף המאה ה -17 על ידי הדגמה עצמאית של כוח החשבון.

ניוטון הדגים את חשיבותן של שיטות אנליטיות בגיאומטריה ואת תפקידן בחשבון, כאשר טען כי לכל קוביה (או כל עקומה אלגברית מדרגה שלישית) יש שלוש או ארבע משוואות סטנדרטיות עבור צירי קואורדינטות מתאימים. בעזרת ניוטון עצמו הוכיח זאת המתמטיקאי הסקוטי ג'ון סטירלינג בשנת 1717.

גיאומטריה אנליטית בשלושה ממדים ויותר

אף כי דקארט וגם פרמה הציעו להשתמש בשלושה קואורדינטות כדי ללמוד עקומות ומשטחים בחלל, גיאומטריה אנליטית תלת ממדית התפתחה באטיות עד 1730.

המתמטיקאים אוילר, הרמן וקלייאוט ייצרו משוואות כלליות לצילינדרים, חרוטים ומשטחי מהפכה.

לדוגמה, אוילר השתמש במשוואות לתרגומים בחלל כדי להפוך את המשטח הריבועי הכללי כך שהצירים העיקריים שלו יופיעו בקנה אחד עם צירי הקואורדינטות שלו.

אוילר, ג'וזף-לואי לגראנז 'וגאספארד מונג' הפכו את הגיאומטריה האנליטית ללא תלות בגיאומטריה סינתטית (לא אנליטית).

הפניות

1. התפתחות הגיאומטריה האנליטית (2001). התאושש מ- encyclopedia.com
2. היסטוריה של הגיאומטריה האנליטית (2015). התאושש מ- maa.org
3. ניתוח (מתמטיקה). התאושש מ- britannica.com
4. גיאומטריה אנליטית. התאושש מ- britannica.com
5. דקארט והולדת הגיאומטריה האנליטית. התאושש מ- sciencedirect.com