הסתברות תיאורטית: כיצד ניתן להשיג זאת, דוגמאות, תרגילים - דודס - 2025

תיאורטית (או לפלס) ההסתברות כי E מתרחש אירוע ששייך S מרחב המדגם, שבה לכולם יש אירועים באותו ההסתברות להתרחשות, מוגדר בסימון מתמטי כמו: P (E) = n (E) / N (S)

כאשר P (E) הוא ההסתברות, שניתנה כמנתק בין המספר הכולל של התוצאות האפשריות של אירוע E, אותו אנו מכנים n (E), חלקי המספר הכולל N (S) של התוצאות האפשריות במרחב המדגם S.

איור 1. בהטלת מטען בעל שישה צדדים, ההסתברות התיאורטית שהראש המנוקד מונח למעלה היא on. מקור: Pixabay.

ההסתברות התיאורטית היא מספר אמיתי בין 0 ל -1, אך לרוב היא באה לידי ביטוי כאחוז, ובמקרה זה ההסתברות תהיה ערך בין 0% ל 100%.

חישוב ההסתברות לאירוע הוא חשוב מאוד בתחומים רבים, כמו מסחר, חברות ביטוח, הימורים, ורבים אחרים.

כיצד להשיג את ההסתברות התיאורטית?

מקרה המחשה הוא המקרה של הגרלות או הגרלות. נניח שמונפקים 1,000 כרטיסים כדי להפעיל הגרלת סמארטפון. מכיוון שהרישום נעשה באופן אקראי, לכל אחד מהכרטיסים יש סיכוי שווה להיות מנצח.

כדי למצוא את ההסתברות שאדם שקונה כרטיס עם המספר 81 הוא מנצח, מתבצע חישוב ההסתברות התיאורטי הבא:

P (1) = 1 / 1,000 = 0.001 = 0.1%

התוצאה לעיל מתפרשת באופן הבא: אם ההגרלה הייתה חוזרת על עצמה אינסוף פעמים רבות, כל 1,000 פעמים כרטיס 81 היה נבחר, בממוצע, פעם אחת.

אם משום מה מישהו רוכש את כל הכרטיסים בטוח שהם יזכו בפרס. ההסתברות לזכות בפרס אם ברשותך כל הכרטיסים מחושבת כך:

P (1,000) = 1,000 / 1,000 = 1 = 100%.

כלומר, ההסתברות 1 או 100% משמעותה שהיא בטוחה לחלוטין שהתוצאה הזו תתרחש.

אם מישהו הבעלים של 500 כרטיסים הסיכוי לזכות או להפסיד זהים. ההסתברות התיאורטית לזכות בפרס במקרה זה מחושבת כדלקמן:

P (500) = 500 / 1,000 = ½ = 0.5 = 50%.

למי שלא קונה כרטיס כלשהו אין סיכוי לזכות וההסתברות התיאורטית שלו נקבעת כך:

P (0) = 0 / 1,000 = 0 = 0%

דוגמאות

דוגמא 1

יש לך מטבע עם פנים מצד אחד ומגן או חותם מצד שני. כשזורקים את המטבע, מהי ההסתברות התיאורטית שהוא יעלה בראש?

P (פנים) = n (פנים) / N (פנים + מגן) = ½ = 0.5 = 50%

התוצאה מתפרשת כך: אם היו מבוצעים מספר עצום של זריקות, בממוצע בכל 2 זריקות אחד מהם היה עולה בראש.

באחוזים, הפרשנות של התוצאה היא שעל ידי ביצוע מספר רב של אינסופי של השלכות, בממוצע מתוך 100 מתוכם 50 היו גורמים לראשים.

דוגמא 2

בתיבה יש 3 גולות כחולות, 2 גולות אדומות וירוק 1. מה ההסתברות התיאורטית שכשאתה מוציא שיש מהקופסה הוא יהיה אדום?

איור 2. הסתברות למיצוי גולות צבעוניות. מקור: פ. זפטה.

ההסתברות שזה יוצא אדום היא:

P (אדום) = מספר המקרים החיוביים / מספר המקרים האפשריים

זאת אומרת:

P (אדום) = מספר גולות אדומות / המספר הכולל של גולות

לבסוף, ההסתברות שנמשך משיש אדום היא:

P (אדום) = 2/6 = ⅓ = 0.3333 = 33.33%

ואילו ההסתברות שכאשר מציירים שיש ירוק היא:

P (ירוק) = ⅙ = 0.1666 = 16.66%

לבסוף, ההסתברות התיאורטית להשיג שיש כחול במיצוי עיוור היא:

P (כחול) = 3/6 = ½ = 0.5 = 50%

כלומר, עבור כל 2 ניסיונות התוצאה תהיה כחולה באחד מהם וצבע אחר בניסיון אחר, מתוך הנחה שהשיש שחולץ מוחלף וכי מספר הניסויים הוא מאוד מאוד גדול.

תרגילים

תרגיל 1

קבע את ההסתברות שגלגול למות יקבל ערך פחות או שווה ל -4.

פִּתָרוֹן

כדי לחשב את ההסתברות לאירוע זה, תחול ההגדרה של הסתברות תיאורטית:

P (≤4) = מספר המקרים החיוביים / מספר המקרים האפשריים

P (≤5) = 5/6 = = 83.33%

תרגיל 2

מצא את ההסתברות שבשתי זריקות רצופות של למות דו-צדדי רגיל, 5 יתגלגלו פעמיים.

פִּתָרוֹן

כדי לענות על תרגיל זה, ערכו טבלה המציגה את כל האפשרויות. הספרה הראשונה מציינת את התוצאה של המוות הראשונה והשנייה את התוצאה של השנייה.

כדי לחשב את ההסתברות התיאורטית אנו צריכים לדעת את המספר הכולל של המקרים האפשריים, במקרה זה, כפי שניתן לראות מהטבלה הקודמת, יש 36 אפשרויות.

בהתבוננות בטבלה ניתן להסיק כי מספר המקרים החיוביים לאירוע שבשתי ההשקות ברציפות יוצא 5 הוא רק 1, מודגש בצבע, ולכן ההסתברות שאירוע זה מתרחש היא:

P (5X5) = 1/36.

ניתן היה להגיע לתוצאה זו גם באמצעות אחד ממאפייני ההסתברות התיאורטית, הקובע כי ההסתברות המשולבת לשני אירועים עצמאיים היא תוצר ההסתברויות האישיות שלהם.

במקרה זה ההסתברות שההטלה הראשונה תתגלגל 5 היא ⅙. ההטלה השנייה אינה תלויה לחלוטין בראשון, ולכן ההסתברות ש- 5 מתגלגלים בשנייה היא גם ⅙. אז ההסתברות המשולבת היא:

P (5 × 5) = P (5) P (5) = (1/6) (1/6) = 1/36.

תרגיל 3

מצא את ההסתברות שמספר פחות מ -2 מתגלגל בהטלה הראשונה ומספר שגדול מ -2 מתגלגל על ​​השני.

פִּתָרוֹן

שוב, יש לבנות טבלה של אירועים אפשריים, כאשר אלה שבהם הקו הראשון היה פחות מ -2 ובשני גדול יותר מ -2 מודגשים.

בסך הכל יש 4 אפשרויות מתוך סה"כ 36. כלומר, ההסתברות לאירוע זה היא:

P (<2;> 2) = 4/36 = 1/9 = 0.1111 = 11.11%

באמצעות משפט ההסתברות הקובע:

אותה תוצאה מתקבלת:

P (<2) P (> 2) = (1/6) (4/6) = 4/36 = 0.1111 = 11.11%

הערך המתקבל בהליך זה עולה בקנה אחד עם התוצאה הקודמת, באמצעות ההגדרה התיאורטית או הקלאסית של הסתברות.

תרגיל 4

מה ההסתברות שכאשר מגלגלים שני קוביות סכום הערכים הוא 7.

פִּתָרוֹן

כדי למצוא את הפיתרון במקרה זה, נערכה טבלת אפשרויות שבה מצוין המקרים העומדים בתנאי שסכום הערכים יהיה 7.

במבט על הטבלה ניתן לספור 6 מקרים אפשריים, כך שההסתברות היא:

P (I + II: 7) = 6/36 = 1/6 = 0.1666 = 16.66%

הפניות

1. Canavos, G. 1988. הסתברות וסטטיסטיקה: יישומים ושיטות. מקגרו היל.
2. Devore, J. 2012. הסתברות וסטטיסטיקה להנדסה ומדע. 8. מַהֲדוּרָה. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Probability. מקגרו היל.
4. Obregón, I. 1989. תורת ההסתברות. לימוזה עריכה.
5. Walpole, R. 2007. הסתברות וסטטיסטיקה להנדסה ומדעים. פירסון.