רגע האינרציה: נוסחאות, משוואות ודוגמאות חישוב - גוּפָנִי - 2025

מומנט האינרציה של גוף נוקשה ביחס לציר מסוים של סיבוב מייצג עמידותו בפני שינוי המהירות הזוויתית שלה ברחבי אמר ציר. הוא פרופורציונלי למסה וגם למיקום ציר הסיבוב, שכן הגוף, תלוי בגיאומטריה שלו, יכול להסתובב ביתר קלות סביב צירים מסוימים מאשר באחרים.

נניח לעצם גדול (המורכב מחלקיקים רבים) שיכול להסתובב סביב ציר. נניח שכוח F פועל , המופעל באופן משיק על יסוד המסה _{im i} , המייצר מומנט או רגע, הניתנים על ידי τ _net = ∑ r _i x F _i . הווקטור r _i הוא המיקום של Δm _i (ראה איור 2).

איור 1. רגעי האינרציה של דמויות שונות. מקור: Wikimedia Commons.

הרגע הזה בניצב למישור הסיבוב (כיוון + k = השארת הנייר). מכיוון שהכוח וקטור המיקום הרדיאלי תמיד בניצב, התוצר הצלב נשאר:

τ _net = ∑ F _i r _i k = ∑ (Δm _i a _i ) r _i k = ∑ Δm _i (a _i r _i ) k

איור 2. חלקיק השייך למוצק קשיח בסיבוב. מקור: Serway, R. 2018. פיזיקה למדע והנדסה. כרך 1. לימוד Cengage.

התאוצה a _i מייצגת את המרכיב המשיק של ההאצה, מכיוון שהתאוצה הרדיאלית אינה תורמת למומנט. כפונקציה של ההאצה הזוויתית α, אנו יכולים להצביע על כך:

לכן מומנט הרשת נראה כך:

τ _net = ∑ Δm _i (α r _i ² ) k = ( ∑ r _i ² Δm _i ) α k

התאוצה הזוויתית α זהה לכל האובייקט כולו, ולכן היא לא מושפעת מהתסריט "i" ויכול לצאת מהסיכום, שהוא בדיוק רגע האינרציה של האובייקט המסומן על ידי האות I:

זה רגע האינרציה של חלוקת המונים בדידה. כאשר ההתפלגות היא רציפה, הסיכום מוחלף באינטגרל ו- becomes הופך להיות הפרשי המונים dm. האינטגרל מתבצע על פני האובייקט כולו:

היחידות לרגע האינרציה במערכת הבינלאומית SI הן ק"ג x ² . זו כמות סקלרית וחיובית, מכיוון שהיא תוצר של מסה וכיכר המרחק.

דוגמאות לחישוב

אובייקט מורחב, כמו סרגל, דיסק, כדור או אחר, שצפיפותו ρ קבועה וידיעה שהצפיפות היא יחס המסה-נפח, ההפרש המוני dm כתוב כ:

מחליפים את האינטגרל לרגע האינרציה, יש לנו:

זהו ביטוי כללי, תקף לאובייקט תלת ממדי, אשר נפחו V ומיקומו r הם פונקציות של הקואורדינטות המרחביות x, y ו- z. שימו לב כי בהיותם קבועים, הצפיפות נמצאת מחוץ לאינטגרל.

הצפיפות ρ ידועה גם כצפיפות בתפזורת, אך אם החפץ שטוח מאוד, כמו סדין או דק מאוד וצר כמו מוט, ניתן להשתמש בצורות אחרות של צפיפות, בואו נראה:

- עבור גיליון דק מאוד, הצפיפות לשימוש היא σ, צפיפות פני השטח (מסה ליחידה ליחידה) ו- dA הוא הפרש השטח.

- ואם מדובר בסר דק, בו רק האורך רלוונטי, משתמשים בצפיפות המסה הלינארית λ והפרשי אורך, בהתאם לציר המשמש כהפניה.

בדוגמאות הבאות כל האובייקטים נחשבים נוקשים (לא מעצבים) ובעלי צפיפות אחידה.

רגע האינרציה של מוט דק ביחס לציר העובר במרכזו

כאן אנו הולכים לחשב את רגע האינרציה של פס דק, קשיח, הומוגני באורך L ומסה M, ביחס לציר העובר במדיום.

ראשית, יש צורך להקים מערכת קואורדינטות ולבנות דמות עם הגיאומטריה המתאימה, כך:

איור 3. איור 3. גיאומטריה לחישוב רגע האינרציה של מוט דק ביחס לציר אנכי שעובר במרכזו. מקור: פ. זפטה.

ציר ה- x לאורך המוט וציר ה- Y נבחרו כציר הסיבוב. הנוהל לביסוס האינטגרל מחייב גם בחירת הפרש מסת המוט על המוט, הנקרא dm, בעל אורך דיפרנציאלי dx וממוקם במיקום השרירותי x, ביחס למרכז x = 0.

על פי ההגדרה של צפיפות מסה ליניארית λ:

מכיוון שהצפיפות אחידה, אשר תקפה ל- M ו- L, היא תקפה גם ל- dm ו- dx:

מצד שני, אלמנט המסה נמצא במצב x, כך על ידי החלפת הגיאומטריה הזו בהגדרה, יש לנו אינטגרל מוגדר, שגבולותיו הם קצות המוט לפי מערכת הקואורדינטות:

החלפת הצפיפות הליניארית λ = M / L:

כדי למצוא את רגע האינרציה של המוט ביחס לציר סיבוב אחר, למשל כזה שעובר באחד הקצוות שלו, אתה יכול להשתמש במשפט שטיינר (ראה תרגיל שנפתר בסוף) או לבצע חישוב ישיר דומה לזה המוצג כאן, אך שינוי הגיאומטריה כראוי.

רגע האינרציה של דיסק ביחס לציר העובר במרכזו

דיסק דק מאוד בעובי זניח הוא דמות שטוחה. אם המסה מפוזרת באופן אחיד על כל שטח השטח A, צפיפות המסה σ היא:

גם dm וגם dA תואמים את המסה ואת שטח הטבעת ההפרש המוצגת באיור. נניח שכל המכלול מסתובב סביב ציר ה- Y.

אתה יכול לדמיין שהדיסק מורכב מטבעות קונצנטריות רבות ברדיוס r, לכל אחת מהן רגע האינרציה. הוספת התרומות של כל הטבעות עד הגעה לרדיוס R, יהיה לנו הרגע הכולל האינרציה של הדיסק.

איור 4. איור 4. גיאומטריה לחישוב רגע האינרציה של דיסק, ביחס לציר הצירי. מקור: פ. זפטה.

שם M מייצג את כל המסה של הדיסק. שטח הדיסק תלוי ברדיוס r שלו כ:

נגזר ביחס ל r:

החלפת האמור לעיל בהגדרת I:

החלפת σ = M / (π.R ² ) נקבל:

רגע האינרציה של כדור מוצק בקוטר

תחום של רדיוס R יכול להיחשב כסדרת דיסקים מוערמים זה על גבי זה, כאשר לכל דיסק בעל מסה אינפיניטימאלית dm, רדיוס r ועובי dz, יש רגע של אינרציה הניתנת על ידי:

כדי למצוא את ההפרש הזה פשוט לקחנו את הנוסחה מהקטע הקודם והחלפנו את M ו- R עבור dm ו- r, בהתאמה. דיסק כזה ניתן לראות בגיאומטריה של איור 5.

איור 5. איור 5. גיאומטריה לחישוב רגע האינרציה של כדור מוצק ברדיוס R ביחס לציר העובר בקוטר. מקור: פ. זפטה.

על ידי הוספת כל רגעי האינרציה של האינרציה של דיסקים מוערמים מתקבל הרגע הכולל של האינרציה של הכדור:

המקבילה ל:

כדי לפתור את האינטגרל אתה צריך לבטא את dm כראוי. כמו תמיד, זה מושג מהצפיפות:

נפח הדיסק הדיפרנציאלי הוא:

גובה הדיסק הוא עובי dz, ואילו שטח הבסיס הוא πr ² , לכן:

ותחליף באינטגרל המוצע זה ייראה כך:

אך לפני השילוב, עלינו לשים לב כי הרדיוס של הדיסק תלוי ב- z וב- R - הרדיוס של הכדור, כפי שניתן לראות באיור 5. שימוש במשפט הפיתגורס:

מה שמוביל אותנו ל:

כדי להשתלב בכל התחום, נציין כי z משתנה בין –R ל- R, לכן:

בידיעה ש- ρ = M / V = ​​M / סוף סוף מתקבל, לאחר הפשט:

רגע האינרציה של גליל מוצק ביחס לציר הצירי

לצורך אובייקט זה נעשה שימוש בשיטה הדומה לזו ששימשה לתחום הכדור, רק שהפעם קל יותר לדמיין את הצילינדר מורכב מפגזים גליליים עם רדיוס r, עובי dr וגובה H, כאילו היו שכבות של בצל. .

איור 6. גיאומטריה לחישוב רגע האינרציה של גליל מוצק ברדיוס R ביחס לציר הצירי. מקור: Serway, R. 2018. פיזיקה למדע והנדסה. כרך 1. Cengage.

הנפח dV של שכבה גלילית הוא:

לכן מסת הקליפה היא:

ביטוי זה מוחלף בהגדרה של רגע האינרציה:

המשוואה לעיל מצביעה על כך שרגע האינרציה של הצילינדר אינו תלוי באורכו, אלא במסה שלו ורדיוס בלבד. אם L הייתה משתנה, רגע האינרציה סביב הציר הצירי היה נשאר זהה. מסיבה זו, אני מהצילינדר חופף לזו של הדיסק הדק שחושב בעבר.

רגע האינרציה של דף מלבני ביחס לציר העובר במרכזו

ציר ה- Y האופקי נבחר כציר הסיבוב. האיור שלהלן מראה את הגיאומטריה הדרושה לביצוע האינטגרציה:

איור 7. איור 7. גיאומטריה לחישוב רגע האינרציה של לוח מלבני ביחס לציר המקביל לגיליון ועובר במרכזו. מקור: פ. זפטה.

אלמנט השטח המסומן באדום הוא מלבני. שטחו בסיס x גובה, לכן:

לכן ההפרש המוני הוא:

באשר למרחק מאלמנט השטח לציר הסיבוב, הוא תמיד z. אנו מחליפים את כל זה באינטגרל של רגע האינרציה:

כעת מוחלף צפיפות מסת השטח σ:

וזה בהחלט נראה כך:

שים לב שזה כמו המוט הדק.

רגע האינרציה של סדין מרובע ביחס לציר העובר במרכזו

עבור ריבוע עם צד L, בביטוי הקודם התקף למלבן, פשוט החלף את הערך של b עבור זה של L:

משפטים של רגעי אינרציה

ישנן שתי משפטים מועילים במיוחד לפישוט חישוב רגעי האינרציה ביחס לצירים אחרים, שאחרים עשויים להיות קשה למצוא בגלל היעדר סימטריה. המשפטים הללו הם:

משפט שטיינר

נקרא גם משפט הצירים המקבילים, הוא מתייחס לרגע האינרציה ביחס לציר עם אחר העובר במרכז המסה של העצם, כל עוד הצירים מקבילים. כדי ליישם אותו, יש צורך לדעת את המרחק D בין שני הצירים וכמובן המסה M של העצם.

תן לי _להיות רגע האינרציה של אובייקט המוארך ביחס לציר z, אני _CM רגע האינרציה ביחס לציר שעובר במרכז המסה (CM) של האובייקט האמור, אז אני משוכנע ש:

או בסימן הדמות הבאה: I _{z '} = I _z + Md ²

איור 8. משפט שטיינר או צירים מקבילים. מקור: Wikimedia Commons. ג'ק ראה

משפט צירים בניצב

משפט זה מיושם על משטחים מישוריים והולך כך: רגע האינרציה של אובייקט מישור סביב ציר הניצב אליו הוא סכום רגעי האינרציה סביב שני צירים בניצב לציר הראשון:

איור 9. משפט צירים בניצב. מקור: פ. זפטה.

אם לאובייקט יש סימטריה כך שאני _x ו- I _y שווים, אז נכון ש:

התרגיל נפתר

מצא את רגע האינרציה של המוט ביחס לציר העובר באחד מקצותיו, כמוצג באיור 1 (למטה ומימין) ואיור 10.

תרשים 10. רגע האינרציה של מוט הומוגני סביב ציר שעובר בקצה אחד. מקור: פ. זפטה.

פִּתָרוֹן:

יש לנו כבר רגע האינרציה של המוט סביב ציר שעובר במרכזו הגיאומטרי. מכיוון שהבר הומוגני, מרכז המסה שלו נמצא בנקודה זו, כך שזו תהיה ה- I _CM שלנו להחיל את משפט שטיינר.

אם אורך המוט הוא L, ציר ה- Z נמצא במרחק D = L / 2, לכן:

הפניות

1. Bauer, W. 2011. פיזיקה להנדסה ומדעים. כרך 1. מק גריי היל. 313-340
2. Rex, A. 2011. יסודות הפיזיקה. פירסון. 190-200.
3. משפט ציר מקביל. התאושש מ: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Serway, R. 2018. פיזיקה למדע והנדסה. כרך 1. Cengage.
5. אוניברסיטת סביליה. רגע של אינרציה כדורית מוצקה. התאושש מ: laplace.us.es.
6. אוניברסיטת סביליה. רגע האינרציה של מערכת חלקיקים. התאושש מ: laplace.us.es.
7. ויקיפדיה. משפט ציר מקביל. התאושש מ: en.wikipedia.org