קואורדינטות גליליות: מערכת, שינוי ותרגילים - מתמטיקה - 2025

קואורדינטות גליליות משמשים לאיתור נקודות במרחב תלת ממדי מורכב רדיאלי לתאם ρ, φ azimuthal לתאם z לתאם הגובה.

נקודה P הממוקמת בחלל מוקרנת אורתוגונלית על מטוס ה- XY ומולידה את הנקודה P 'באותו מישור. המרחק מהמקור לנקודה P 'מגדיר את הקואורדינטה ρ, ואילו הזווית בין ציר ה- X לקרן OP' מגדירה את הקואורדינטה φ. לבסוף, קואורדינטת ה- z היא ההקרנה האורתוגונאלית של נקודה P על ציר ה- Z. (ראה איור 1).

איור 1. איור 1. נקודה P של קואורדינטות גליליות (ρ, φ, z). (פירוט משלו)

הקואורדינטה הרדיאלית ρ חיובית תמיד, הקואורדינטה האזימוטאלית φ משתנה מאפס רדיאנים לשני רדיאנים פי, ואילו קואורדינטת z יכולה לקחת כל ערך אמיתי:

0 ≤ ρ <∞

0 ≤ φ <2π

- ∞ <z <+ ∞

שינוי קואורדינטות

קל יחסית להשיג את הקואורדינטות הקרטזיות (x, y, z) של נקודה P מהקואורדינטות הגליליות שלה (ρ, φ, z):

x = ρ cos (φ)

y = ρ sin (φ)

z = z

אך ניתן גם להשיג את הקואורדינטות הקוטביות (ρ, φ, z) החל מהידע של הקואורדינטות הקרטזיות (x, y, z) של נקודה P:

ρ = √ (x ² + y ² )

φ = ארקטן (y / x)

z = z

בסיס וקטורי בקואורדינטות גליליות

הבסיס של יחידת גלילי וקטורים Uρ , Uφ , עוץ הוא מוגדר .

וקטור Uρ משיק קו φ = ctte ו- Z = ctte (הצבעה רדיאלית החוצה), וקטור Uφ משיק קו ρ = ctte ו- Z = ctte ולבסוף עוץ יש אותן לכיוון ציר Z.

איור 2. איור 2. בסיס קואורדינטות גלילי. (פיקוד וויקימדיה)

בבסיס היחידה הגלילית, וקטור המיקום r של נקודה P כתוב בצורה וקטורית כך:

r = ρ Uρ + 0 Uφ + z עוץ

מצד שני, תזוזה אינסינציאלית d r מנקודה P באה לידי ביטוי באופן הבא:

ד r = dρ Uρ + ρ dφ Uφ + dz עוץ

באופן דומה, מרכיב אינסופי של נפח dV בקואורדינטות גליליות הוא:

dV = ρ dρ dφ dz

דוגמאות

יש אין ספור דוגמאות לשימוש ויישום של קואורדינטות גליליות. בקרטוגרפיה, למשל, משתמשים בהקרנה הגלילית, המבוססת בדיוק על קואורדינטות אלה. יש דוגמאות נוספות:

דוגמא 1

לקואורדינטות גליליות יש יישומים בתחום הטכנולוגיה. כדוגמה יש לנו מערכת CHS (Cylinder-Head-Sector) של מיקום נתונים בדיסק קשיח, המורכב למעשה מכמה דיסקים:

- הצילינדר או המסילה תואמים את הקואורדינטה ρ.

- המגזר מתאים למיקום φ של הדיסק שמסתובב במהירות זוויתית גבוהה.

- הראש מתאים למיקום ה- z של ראש הקריאה בדיסק המתאים.

לכל בית מידע יש כתובת מדויקת בקואורדינטות גליליות (C, S, H).

איור 2. איור 2. מיקום המידע בקואורדינטות גליליות במערכת דיסק קשיח. (פיקוד וויקימדיה)

דוגמא 2

מנופי בנייה מקבעים את מיקום העומס בקואורדינטות גליליות. המיקום האופקי מוגדר על ידי המרחק לציר או לחץ של העגורן ρ ועל ידי מיקומו הזוויתי φ ביחס לציר ייחוס כלשהו. המיקום האנכי של העומס נקבע על ידי קואורדינטת z הגובה.

איור 3. את מיקום העומס על מנוף בנייה ניתן לבטא בקלות בקואורדינטות גליליות. (תמונה Pixabay - הערות R. Pérez)

תרגילים שנפתרו

תרגיל 1

יש נקודות P1 עם קואורדינטות גליליות (3, 120 מעלות, -4) ונקודה P2 עם קואורדינטות גליליות (2, 90º, 5). מצא את המרחק האוקלידי בין שתי הנקודות הללו.

הפיתרון: ראשית, אנו ממשיכים למצוא את הקואורדינטות הקרטזיות של כל נקודה על פי הנוסחה שניתנה לעיל.

P1 = (3 * cos 120º, 3 * sin 120º, -4) = (-1.5, 2.60, -4)

P2 = (2 * cos 90º, 2 * sin 90º, 5) = (0, 2, 5)

המרחק האוקלידי בין P1 ל- P2 הוא:

d (P1, P2) = √ ((0 - (-1.5)) ² + (2 - 2.60) ² + (5 - (- 4)) ² ) = …

… √ (2.25 + 0.36 + 81) = 9.14

תרגיל 2

לנקודה P יש קואורדינטות קרטזיות (-3, 4, 2). מצא את הקואורדינטות הגליליות המתאימות.

הפיתרון: אנו ממשיכים למצוא את הקואורדינטות הגליליות באמצעות מערכות היחסים המפורטות לעיל:

ρ = √ (x ² + y ² ) = √ ((- 3) ² + 4 ² ) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

φ = ארקטן (y / x) = ארקטן (4 / (- 3)) = -53.13º + 180º = 126.87º

z = 2

יש לזכור כי הפונקציה המארכיטנטית מרובה הערכים עם תקופתיות של 180 מעלות. כמו כן, זווית φ חייבת להיות שייכת לרבע השני, מכיוון שקואורדינטות x ו- y של נקודה P נמצאות ברביע זה. זו הסיבה שבגללה נוסף 180 מעלות לתוצאה φ.

תרגיל 3

יש לבטא בקואורדינטות גליליות ובקרטזיאן קואורדינטות פני השטח של גליל ברדיוס 2 שצירו עולה בקנה אחד עם ציר Z.

הפיתרון: מובן כי לצילינדר יש שלוחה אינסופית בכיוון z, ולכן המשוואה של המשטח האמור בקואורדינטות גליליות היא:

ρ = 2

כדי להשיג את המשוואה הקרטזית של המשטח הגלילי, נלקח הריבוע של שני החברים במשוואה הקודמת:

ρ ² = 4

אנו מכפילים את שני חברי השוויון הקודם ב- 1 ומיישמים את הזהות הטריגונומטרית הבסיסית (sin ² (φ) + cos ² (φ) = 1):

1 * ρ ² = 1 * 4

(sin ² (φ) + cos ² (φ)) * ρ ² = 1 * 4

הסוגריים מפותחים כדי להשיג:

(ρ sin (φ)) ² + (ρ cos (φ)) ² = 4

אנו זוכרים כי הסוגריים הראשונים (ρ sin (φ)) הם קואורדינטת y של נקודה בקואורדינטות קוטביות, ואילו הסוגריים (ρ cos (φ)) מייצגים את קואורדינטת ה- x, כך שיש לנו את המשוואה של הצילינדר בקואורדינטות. קרטזית:

y ² + x ² = 2 ²

אין להתבלבל בין המשוואה לעיל לבין זו של היקף במישור ה- XY, שכן במקרה זה זה היה נראה כך: {y ² + x ² = 2 ² ; z = 0}.

תרגיל 4

צילינדר ברדיוס R = 1 מ 'וגובהו H = 1 מ', והמסה שלו מתפזרת באופן רדיאלי על פי המשוואה הבאה D (ρ) = C (1 - ρ / R) כאשר C הוא קבוע בערך C = 1 ק"ג / מ ³ . מצא את המסה הכוללת של הצילינדר בקילוגרמים.

הפיתרון: הדבר הראשון הוא להבין שהפונקציה D (ρ) מייצגת את צפיפות המסה הנפחית, וכי צפיפות המסה מופצת בקליפות גליליות בעלות צפיפות יורדת מהמרכז לפריפריה. אלמנט נפח אינסופי לפי הסימטריה של הבעיה הוא:

dV = ρ dρ 2π H

מכאן שהמסה האינסופית של קליפה גלילית תהיה:

dM = D (ρ) dV

לכן המסה הכוללת של הצילינדר תבוא לידי ביטוי באינטגרל המובהק הבא:

M = ∫ _או ^R D (ρ) dV = ∫ _או ^R C (1 - ρ / R) ρ dρ 2π H = 2π HC ∫ _או ^R (1 - ρ / R) ρ dρ

הפתרון של האינטגרל שצוין אינו קשה להשגה, והתוצאה שלו היא:

∫ _או ^R (1 - ρ / R) ρ dρ = (⅙) R ²

בשילוב תוצאה זו בביטוי מסת הגליל אנו משיגים:

M = 2π HC (⅙) R ² = ⅓ π HCR ² =

⅓ π 1m * 1 kg / m ³ * 1m ² = π / 3 kg ≈ 1.05 ק"ג

הפניות

1. ארפקן G וובר ה '(2012). שיטות מתמטיות לפיזיקאים. מדריך מקיף. מהדורה 7. עיתונות אקדמית. ISBN 978-0-12-384654-9
2. חישוב סמ"ק. פתרו בעיות של קואורדינטות גליליות וכדוריות. התאושש מ: calculo.cc
3. ויסשטיין, אריק וו. "קואורדינטות גליליות." מאת MathWorld - רשת וולפרם. התאושש מ: mathworld.wolfram.com
4. ויקיפדיה. מערכת קואורדינטות גליליות. התאושש מ: en.wikipedia.com
5. ויקיפדיה. שדות וקטוריים בקואורדינטות גליליות וכדוריות. התאושש מ: en.wikipedia.com