- מאפייני אליפסואידי
- - משוואה סטנדרטית
- - משוואות פרמטריות של האליפסואיד
- - עקבות של אליפסואיד
- - כרך
- מקרים מיוחדים של אליפסואיד
- ההפניה אליפסואידית
- דוגמא מספרית
- פִּתָרוֹן
- הפניות
אליפסואיד הוא משטח במרחב השייך לקבוצה של משטחים quadric ואשר המשוואה הכללית היא של הטופס:
זהו המקבילה התלת מימדית לאליפסה, המאופיינת בכך שיש עקבות אליפטיים ומעגליים במקרים מיוחדים. העקבות הם העקומות המתקבלות על ידי הצטלבות האליפסואיד עם מישור.
איור 1. איור 1. שלושה אליפסואידים שונים: בחלקו העליון כדור בו שלושת הצירים למחצה שווים, בחלק התחתון משמאל ספירואידי, עם שני צירים חצי-שווים ואחד שונה, ולבסוף בחלק התחתון מימין, ספירואיד טריאקסיאלי, עם שלושה צירים שונים אורך. מקור: Wikimedia Commons. Ag2gaeh / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)
בנוסף לאליפסואיד, ישנם חמישה ריבועים נוספים: היפרבוליד גיליון אחד ושני גיליונות, שני סוגים של פרבוליד (היפרבולי ואליפטי) והחרוט האליפטי. עקבותיו חרוטי גם הם.
האליפסואיד יכול לבוא לידי ביטוי גם על ידי המשוואה הסטנדרטית בקואורדינטות הקרטזיות. אליפסואיד שבמרכזו מוצא (0,0,0) ובא לידי ביטוי בצורה זו, דומה לאליפסה, אך עם מונח נוסף:
הערכים של a, b ו- c הם מספרים אמיתיים הגדולים מ- 0 ומייצגים את שלושת הצירים למחצה של האליפסואיד.
מאפייני אליפסואידי
- משוואה סטנדרטית
המשוואה הסטנדרטית בקואורדינטות הקרטזיות עבור האליפסה שבמרכזה בנקודה (h, k, m) היא:
- משוואות פרמטריות של האליפסואיד
בקואורדינטות כדוריות ניתן לתאר את האליפסואיד באופן הבא:
x = חטא θ. cos φ
y = b sin θ. סן φ
z = c cos θ
הצירים למחצה של האליפסואיד נשארים a, b ו- c, בעוד שהפרמטרים הם הזוויות θ ו- φ של הדמות הבאה:
איור 2. איור 2. מערכת הקואורדינטות הכדוריות. ניתן לפרמטר את האליפסואיד באמצעות הזוויות המוצגות תטא ו- ph כפרמטרים. מקור: Wikimedia Commons. אנדגס / רשות הרבים.
- עקבות של אליפסואיד
המשוואה הכללית של משטח בחלל היא F (x, y, z) = 0 והעקבות של המשטח הן העקומות:
- x = c; F (c, y, z) = 0
- y = c; F (x, c, z) = 0
- z = c; F (x, y, c) = 0
במקרה של אליפסואיד, עקומות כאלה הן אליפסות ולעיתים עיגולים.
- כרך
נפח V של האליפסואיד ניתן על ידי (4/3) π פי התוצר משלושת הצירים למחצה:
V = (4/3) π. א ב ג
מקרים מיוחדים של אליפסואיד
-אליפסואיד הופך להיות כדור כאשר כל הצירים למחצה זהים בגודל: a = b = c ≠ 0. זה הגיוני, מכיוון שהאליפסואיד הוא כמו כדור שנמתח בצורה שונה לאורך כל אחד צִיר.
-הזרוע הוא אליפסואיד בו שני הצירים למחצה זהים והשלישי שונה, למשל זה יכול להיות a = b ≠ c.
הספירואיד נקרא גם אליפסואיד של מהפכה, מכיוון שהוא יכול להיווצר על ידי סיבוב אליפסות סביב ציר.
אם ציר הסיבוב עולה בקנה אחד עם הציר הראשי, הספירואידי הוא ממושך, אך אם הוא עולה בקנה אחד עם הציר הקטין, הוא מוחלש:
איור 3. איור 3. Spheroid Spheroid בצד שמאל ו- Speareoid Spate בימין. מקור: Wikimedia Commons.
מידת השיטוח של הספירואידי (אליפטיות) ניתנת על ידי הפרש האורך בין שני הצירים למחצה, המתבטא בצורה חלקית, כלומר, מדובר בהשטחת היחידה, הניתנת על ידי:
f = (a - b) / a
במשוואה זו, a מייצג את הציר למחצה העיקרי ואת הציר למחצה מינורי, זכרו שהציר השלישי שווה לאחד מאלה עבור כדורית. הערך של f הוא בין 0 ל 1 ועבור כדורית הוא צריך להיות גדול מ 0 (אם הוא היה שווה ל 0 היינו פשוט יש כדור).
ההפניה אליפסואידית
כוכבי הלכת והכוכבים באופן כללי הם בדרך כלל לא תחומים מושלמים, מכיוון שהתנועה הסיבובית סביב הצירים שלהם משטחה את הגוף בקטבים ותפיחה אותו בקו המשווה.
זו הסיבה שכדור הארץ מתברר ככדור ספירואידי מוחלט, אם כי לא מוגזם כמו זה שבדמות הקודמת, ומצידו ענקית הגז שבתאי היא החלקה ביותר של כוכבי הלכת במערכת השמש.
לכן דרך מציאותית יותר לייצג את כוכבי הלכת היא להניח שהם דומים לספירואיד או אליפסואידי של מהפכה, שצירם העיקרי למחצה הוא הרדיוס המשווני והציר למחצה מינורי הרדיוס הקוטבי.
מדידות קפדניות שנעשו על פני הגלובוס אפשרו לבנות את אליפסואיד ההתייחסות לכדור הארץ כדרך המדויקת ביותר לעבוד אותו במתמטיקה.
לכוכבים יש גם תנועות סיבוביות שנותנות להם צורות שטוחות פחות או יותר. הכוכב המהיר Achernar, הכוכב השמיני המואר ביותר בשמי הלילה, בקונסטלציה הדרומית ארידנוס הוא סגלגל להפליא בהשוואה לרוב. במרחק 144 שנות אור מאיתנו.
בקצה השני, מדענים מצאו לפני מספר שנים את האובייקט הכדורי ביותר שנמצא אי פעם: הכוכב קפלר 11145123, במרחק 5000 שנות אור משם, כפול מגודלו של השמש שלנו והבדל בין הצירים למחצה של 3 ק"מ בלבד. כצפוי, זה מסתובב לאט יותר.
באשר לכדור הארץ, הוא גם לא ספירואיד מושלם בגלל המשטח המחוספס שלו ושינויי כוח המשיכה המקומיים. מסיבה זו, יש יותר מספירת חרס ייחודית אחת ובכל אתר נבחר המתאים ביותר לגיאוגרפיה המקומית.
עזרתם של לוויינים היא לא יסולא בפז ביצירת מודלים מדויקים יותר ויותר של צורת כדור הארץ, בזכותם ידוע למשל שהקוטב הדרומי קרוב יותר לקו המשווה מאשר הקוטב הצפוני.
תרשים 4. האומאה, כוכב הלכת הגמדי הטרנס-נפטוני יש צורה אליפסואידית. מקור: Wikimedia Commons.
דוגמא מספרית
עקב סיבוב כדור הארץ נוצר כוח צנטריפוגלי המעניק לו צורה של אליפסואיד ממושך, במקום כדור. ידוע כי רדיוס המשווה של כדור הארץ הוא 3963 מיילים ורדיוס הקוטב הוא 3942 מיילים.
מצא את המשוואה של עקבות המשוואה, זו של אליפסואיד זה ואת מידת השיטוח שלו. השווה גם עם אליפטיות של שבתאי, עם הנתונים המופיעים להלן:
רדיוס קו המשווה לשבת: 60,268 ק"מ
רדיוס קוטבי של שבתאי: 54,364 ק"מ
פִּתָרוֹן
דרושה מערכת קואורדינטות, אשר אנו נניח שמרכזיה במוצא (מרכז כדור הארץ). נניח את ציר ה- z האנכי והעקבות המתאימים לקו המשווה שוכנים במישור ה- xy, שווה ערך למישור z = 0.
במישור המשווה, הצירים למחצה a ו- b שווים, ולכן a = b = 3963 מיילים ואילו c = 3942 מיילים. זהו מקרה מיוחד: ספירואיד שבמרכזו בנקודה (0,0,0) כאמור לעיל.
העקיבה המשוונית היא מעגל ברדיוס R = 3963 מיילים, במרכזו. זה מחושב על ידי יצירת z = 0 במשוואה הסטנדרטית:
והמשוואה הסטנדרטית של אליפסואיד יבשתי היא:
f כדור הארץ = (a - b) / a = (3963-3942) miles / 3963 miles = 0.0053
f שבתאי = (60268-54363) km / 60268 km = 0.0980
שימו לב שהאליפטיות f היא כמות חסרת ממדים.
הפניות
- ArcGIS לשולחן העבודה. כדוריות וכדורים. התאושש מ: desktop.arcgis.com.
- BBC World. תעלומת האובייקט הכדורי ביותר שהתגלה אי פעם ביקום. התאושש מ: bbc.com.
- לארסון, ר. חישוב וגיאומטריה אנליטית. המהדורה השישית. כרך 2. מקגרו היל.
- ויקיפדיה. אליפסואידי. התאושש מ: en.wikipedia.org.
- ויקיפדיה. ספירואידי. התאושש מ: en.wikipedia.org.