דרגות חופש: כיצד לחשב אותם, סוגים, דוגמאות - דודס - 2025

דרגות חופש בסטטיסטיקה הן מספר רכיבים עצמאיים של וקטור אקראי. אם לווקטור n רכיבים ויש p משוואות לינאריות הקשורות למרכיביו, אז מידת החופש היא np.

מושג דרגות החופש מופיע גם במכניקה תיאורטית, כאשר באופן גס הם שווים לממד המרחב בו החלקיק נע, פחות מספר הקשרים.

איור 1. מטוטלת נעה בשני ממדים, אך יש לה רק דרגה אחת של חופש מכיוון שהיא נאלצת לנוע בקשת של רדיוס L. מקור: F. Zapata.

מאמר זה ידון במושג דרגות החופש המופעל על סטטיסטיקות, אך קל יותר להמחיש דוגמה מכנית בצורה גיאומטרית.

סוגים של דרגות חופש

תלוי בהקשר בו הוא מיושם, הדרך לחישוב מספר דרגות החופש עשויה להשתנות, אך הרעיון העומד בבסיס הוא תמיד זהה: ממדים כולל מינוס מספר ההגבלות.

במקרה מכני

הבה נבחן חלקיק מתנודד הקשור למיתר (מטוטלת) שנע במישור ה- xy האנכי (2 ממדים). עם זאת, החלקיק נאלץ לנוע על היקף הרדיוס השווה לאורכו של האקורד.

מכיוון שהחלקיק יכול לנוע רק על עקומה זו, מספר דרגות החופש הוא 1. ניתן לראות זאת באיור 1.

הדרך לחשב את מספר דרגות החופש היא על ידי לקיחת ההבדל של מספר הממדים מינוס מספר האילוצים:

דרגות חופש: = 2 (מידות) - 1 (ligature) = 1

הסבר נוסף המאפשר להגיע לתוצאה הוא הבא:

-אנחנו יודעים שהמיקום בשני ממדים מיוצג על ידי נקודת קואורדינטות (x, y).

-אבל מכיוון שהנקודה חייבת לעמוד במשוואה של היקף (x ² + y ² = L ² ) עבור ערך נתון של המשתנה x, המשתנה y נקבע על ידי המשוואה או ההגבלה האמורה.

בדרך זו, רק אחד מהמשתנים הוא עצמאי ולמערכת יש דרגת חופש אחת (1).

במערכת ערכים אקראיים

כדי להמחיש את משמעות המושג, נניח שהווקטור

x = (x ₁ , x ₂ , …, x _n )

מייצג את המדגם של n ערכים אקראיים המופצים בדרך כלל. במקרה זה לווקטור האקראי x יש n רכיבים עצמאיים ולכן אומרים ל- x כ- n דרגות חופש.

הבה נבנה כעת את הווקטור r של השאריות

r = (x ₁ -, x ₂ -, …., X _n -)

איפה מייצג את ממוצע המדגם המחושב כדלקמן:

= (x ₁ + x ₂ +…. + x _n ) / n

אז הסכום

(x ₁ -) + (x ₂ -) +…. + (X _n -) = (x ₁ + x ₂ +…. + x _n ) - n= 0

זוהי משוואה המייצגת מגבלה (או כריכה) באלמנטים של הווקטור r של המשקעים, שכן אם ידועים רכיבי n-1 של הווקטור r , משוואת ההגבלה קובעת את המרכיב הלא ידוע.

לכן הווקטור r של מימד n עם ההגבלה:

∑ (x _i -) = 0

יש לו (n - 1) דרגות חופש.

שוב מוחל כי החישוב של מספר דרגות החופש הוא:

דרגות חופש: = n (מידות) - 1 (אילוצים) = n-1

דוגמאות

שונות ומעלות חופש

השונות s ² מוגדרת כממוצע לריבוע הסטיות (או השאריות) של מדגם הנתונים n:

s ² = ( r • r ) / (n-1)

כאשר r הוא הווקטור של השאריות r = (x1 -, x2 - , …., Xn - ) והנקודה העבה (•) היא מפעילת מוצרי הנקודה. לחלופין, ניתן לכתוב את נוסחת השונות באופן הבא:

s ² = ∑ (x _i -) ² / (n-1)

בכל מקרה, יש לציין כי בעת חישוב הממוצע של ריבוע השאריות הוא מחולק על ידי (n-1) ולא על ידי n, שכן כפי שנדון בסעיף הקודם, מספר דרגות החופש של הווקטור r הוא ( n-1).

אם לצורך חישוב השונות זה היה מחולק ב- n במקום ב- (n-1), לתוצאה תהיה הטיה שהיא משמעותית מאוד לערכים של פחות מ- 50.

בספרות נוסחת השונות מופיעה גם עם המחלק n במקום (n-1), כשמדובר בשונות של אוכלוסיה.

אבל הסט של המשתנה האקראי של השאריות, המיוצג על ידי הווקטור r , למרות שיש לו ממד n, יש לו רק (n-1) דרגות חופש. עם זאת, אם מספר הנתונים גדול מספיק (n> 500), שתי הנוסחאות מתכנסות לאותה תוצאה.

מחשבונים וגיליונות אלקטרוניים מספקים את שתי הגרסאות של השונות ואת סטיית התקן (שהיא שורש הריבוע של השונות).

המלצתנו, לאור הניתוח המוצג כאן, היא לבחור תמיד את הגרסה עם (n-1) בכל פעם שהיא נדרשת לחשב את השונות או סטיית התקן, כדי למנוע תוצאות מוטות.

בהתפלגות ריבוע הצ'י

כמה התפלגויות הסתברות במשתנה אקראי רציף תלויים בפרמטר שנקרא דרגת חופש, זה המקרה של התפלגות ריבוע הצ'י (χ ² ).

שמו של פרמטר זה מגיע בדיוק ממעלות החופש של הווקטור האקראי הבסיסי עליו חלוקה זו.

נניח שיש לנו אוכלוסיות g, מהן נלקחות דגימות בגודל n:

X ₁ = (x1 ₁ , x1 ₂ ,… ..x1 _n )

X2 = (x2 ₁ , x2 ₂ , … ..x2 _n )

…

X _j = (xj ₁ , xj ₂ ,… ..xj _n )

…

XG = (XG ₁ , XG ₂ , … ..xg _n )

אוכלוסייה שיש לזה משמעות וסטיית תקן Sj, עוקבת אחר ההתפלגות הרגילה N ( , ש).

המשתנה הסטנדרטי או המתוקצב zj _i מוגדר כ:

zj _i = (xj _i - ) / Sj.

והווקטור Zj מוגדר כך:

Zj = ( zj ₁ , zj ₂ , …, zj _i , …, zj _n ) ועוקב אחר התפלגות נורמלית סטנדרטית N (0,1).

אז המשתנה:

ש = ((z1 ₁ ^ 2 + z2 ₁ ^ 2 +…. + Zg ₁ ^ 2), …., (Z1 _n ^ 2 + z2 _n ^ 2 +…. + Zg _n ^ 2))

עוקב אחר התפלגות χ ² (g) הנקראת התפלגות צ'י ריבועית עם דרגת חופש g.

במבחן ההשערה (בדוגמה שנפתרה)

כשרוצים לבדוק השערות על סמך קבוצה מסוימת של נתונים אקראיים, עליכם לדעת את מספר דרגות החופש g על מנת להחיל את מבחן הצ'י-ריבוע.

איור 2. האם יש קשר בין העדפת הגלידה FLAVOR למין הלקוח? מקור: פ. זפטה.

כדוגמה, הנתונים שנאספו על העדפות גלידת שוקולד או תות בקרב גברים ונשים בגלידריה מסוימת ינותחו. התדירות בה גברים ונשים בוחרים תות או שוקולד מסוכמת באיור 2.

ראשית, מחושב טבלת התדרים הצפויים, שמוכנים על ידי הכפלת סך השורות בסך העמודות, מחולק בסך כל הנתונים. התוצאה מוצגת באיור הבא:

איור 3. חישוב התדרים הצפויים בהתבסס על התדרים שנצפו (ערכים בכחול באיור 2). מקור: פ. זפטה.

ואז מחושב ריבוע הצ'י (מהנתונים) באמצעות הנוסחה הבאה:

χ ² = ∑ (F _o - F _e ) ² / F _e

כאשר F _o הם התדרים שנצפו (איור 2) ו- F _e הם התדרים הצפויים (איור 3). הסיכום עובר על כל השורות והעמודים, שבדוגמא שלנו נותנים ארבעה מונחים.

לאחר ביצוע הפעולות אתה מקבל:

χ ² = 0.2043.

כעת יש להשוות עם ריבוע הצ'י התיאורטי, התלוי במספר דרגות החופש g.

בענייננו, מספר זה נקבע באופן הבא:

g = (# שורות - 1) (# עמודות - 1) = (2 - 1) (2 - 1) = 1 * 1 = 1.

מסתבר שמספר דרגות החופש g בדוגמא זו הוא 1.

אם ברצונך לבדוק או לדחות את השערת האפס (H0: אין קשר בין TASTE למגדר) עם רמת משמעות של 1%, הערך הצ'י-מרובע התיאורטי מחושב בדרגת חופש g = 1.

מבקשים את הערך ההופך את התדר המצטבר (1 - 0.01) = 0.99, כלומר 99%. ערך זה (שניתן להשיג מהטבלאות) הוא 6,636.

ככל שהצ'י התיאורטי עולה על זה המחושב, אזי מאומתת השערת האפס.

במילים אחרות, עם הנתונים שנאספו, לא נצפה קשר בין המשתנים TASTE למין.

הפניות

1. מיניטאב. מהן דרגות החופש? התאושש מ: support.minitab.com.
2. מור, דייויד. (2009) סטטיסטיקה יישומית בסיסית. עורך אנטוני בוש.
3. ליי, ג'ניפר. כיצד לחשב דרגות חופש במודלים סטטיסטיים. התאושש מ: geniolandia.com
4. ויקיפדיה. תואר חופש (סטטיסטיקה). התאושש מ: es.wikipedia.com
5. ויקיפדיה. תואר חופש (פיזי). התאושש מ: es.wikipedia.com