ניסוי אקראי: מושג, שטח מדגם, דוגמאות - דודס - 2025

אנו מדברים על ניסוי אקראי כאשר התוצאה של כל ניסוי מסוים אינה ניתנת לחיזוי, למרות שניתן לקבוע את ההסתברות להתרחשות תוצאה מסוימת.

עם זאת, יובהר כי לא ניתן לשחזר את אותה תוצאה של מערכת אקראית עם אותם פרמטרים ותנאים ראשוניים בכל ניסוי הניסוי.

איור 1. גליל הקוביות הוא ניסוי אקראי. מקור: Pixabay.

דוגמה טובה לניסוי אקראי היא גלגול למות. גם אם יש להקפיד על גלגול המתים באותה צורה, כל ניסיון יביא לתוצאה בלתי צפויה. למעשה, הדבר היחיד שניתן לומר הוא שהתוצאה יכולה להיות אחת מהפעולות הבאות: 1, 2, 3, 4, 5 או 6.

השלכת מטבע היא דוגמא נוספת לניסוי אקראי עם שתי תוצאות אפשריות בלבד: ראשים או זנבות. למרות שהמטבע נזרק מאותו גובה ובאותה צורה, גורם הסיכוי תמיד יהיה קיים, וכתוצאה מכך אי וודאות עם כל ניסיון חדש.

ההפך מניסוי אקראי הוא ניסוי דטרמיניסטי. לדוגמא, ידוע שבכל פעם שמרתיחים מים בגובה הים טמפרטורת הרתיחה היא 100 מעלות צלזיוס. אך מעולם לא קורה ששמירה על אותם תנאים, התוצאה היא לפעמים 90 מעלות צלזיוס, 12 מעלות צלזיוס אחרות ולעיתים 100 מעלות צלזיוס.

שטח לדוגמא

מערך כל התוצאות האפשריות של ניסוי אקראי נקרא שטח המדגם. בניסוי האקראי של גלגול למות, שטח הדגימה הוא:

D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

לעומת זאת, בהטלת מטבע, שטח המדגם הוא:

M = {ראשים, זנבות}.

אירוע או התרחשות

בניסוי אקראי אירוע הוא התרחשות או לא של תוצאה מסוימת. לדוגמה, במקרה של היפוך מטבעות, אירוע או התרחשות הם שהוא עולה בראש.

אירוע נוסף בניסוי אקראי יכול להיות הבא: שמספר שנמוך או שווה לשלושה מגולגל על ​​גזע.

במקרה שהאירוע מתרחש, קבוצת התוצאות האפשריות היא הסט:

E = {1, 2, 3}

בתורו, זוהי קבוצת משנה של שטח הדגימה או הסט:

M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

דוגמאות

להלן מספר דוגמאות הממחישות את האמור לעיל:

דוגמא 1

נניח ששני מטבעות מושלכים בזה אחר זה. זה שואל:

א) ציין אם זה ניסוי אקראי או להפך, ניסוי דטרמיניסטי.

ב) מה שטח המדגם S של ניסוי זה?

ג) ציין את קבוצת האירועים A, המתאימה לעובדה שהניסוי מביא לראשים וזנבות.

ד) חשב את ההסתברות שאירוע A מתרחש.

ה) לבסוף, מצא את ההסתברות שאירוע B מתרחש: לא מופיעים ראשים בתוצאה.

פִּתָרוֹן

תיק מכיל 10 גולות לבנות ו -10 גולות שחורות. שלושה גולות נמשכים ברצף מהתיק באופן אקראי ומבלי להביט פנימה.

א) קבע את שטח הדגימה לניסוי אקראי זה.

ב) קבע את מערך התוצאות המתאים לאירוע A, אשר מורכב בכך שיש שני גולות שחורות לאחר הניסוי.

ג) אירוע B הוא להשיג לפחות שני גולות שחורות, לקבוע את ערכת התוצאות B עבור אירוע זה.

ד) מה ההסתברות שאירוע A מתרחש?

ה) מצא את ההסתברות שאירוע B מתרחש.

ו) קבע את ההסתברות שהתוצאה של הניסוי האקראי היא שיש לך לפחות שיש שחור אחד. אירוע זה ייקרא C.

איור 2. גולות בשחור לבן לניסויים אקראיים. מקור: Needpix.

פתרון ל

כדי לבנות את שטח הדגימה, כדאי להכין תרשים עץ, כמו זה שמוצג באיור 3:

איור 3. תרשים עץ לדוגמא 2. הוכן על ידי פאני זפטה.

הסט Ω של התוצאות האפשריות של חילוץ שלוש גולות מתיק עם אותו מספר של גולות בשחור לבן, הוא בדיוק שטח הדגימה של ניסוי אקראי זה.

Ω = {(b, b, b), (b, b, n), (b, n, b), (b, n, n), (n, b, b), (n, b, n) , (n, n, b), (n, n, n)}

פיתרון ב

קבוצת התוצאות האפשריות המתאימות לאירוע A, המורכבת משני גולות שחורות היא:

A = {(b, n, n), (n, b, n), (n, n, b)}

פיתרון ג

אירוע B מוגדר כ"יש לפחות שני גולות שחורות לאחר שצייר שלושה מהם באקראי. " מערך התוצאות האפשריות לאירוע B הוא:

B = {(b, n, n), (n, b, n), (n, n, b), (n, n, n)}

פיתרון ד

ההסתברות לקיום אירוע A היא המנה בין מספר התוצאות האפשריות לאירוע זה, לבין המספר הכולל של התוצאות האפשריות, כלומר מספר האלמנטים במרחב הדגימה.

P (A) = n (A) / n (Ω) = 3/8 = 0.375 = 37.5%

אז ישנה סבירות של 37.5% להצטייד בשני גולות שחורות לאחר ששלף אקראית שלוש גולות מהתיק. אך שים לב כי איננו יכולים לחזות בשום דרך את התוצאה המדויקת של הניסוי.

פיתרון ה

ההסתברות להתרחש אירוע B, המורכבת מהשגת לפחות שיש שחור אחד היא:

P (B) = n (B) / n (Ω) = 4/8 = 0.5 = 50%

המשמעות היא שהאפשרות שאירוע B מתרחש שווה לסיכוי שהוא לא מתרחש.

פיתרון ו

ההסתברות להשיג לפחות שיש שחור אחד, לאחר שצייר שלושה מהם, שווה ל -1 מינוס ההסתברות שהתוצאה תהיה "שלושת הגולות הלבנות".

P (C) = 1 - P (bbb) = 1 - ⅛ = ⅞ = 0.875 = 87.5%

כעת, אנו יכולים לבדוק תוצאה זו, ולשים לב שמספר האפשרויות שהאירוע C מתרחש שווה למספר האלמנטים של התוצאות האפשריות לאירוע C:

C = {(b, b, n), (b, n, b), (b, n, n), (n, b, b), (n, b, n), (n, n, b) , (n, n, n)}

n (C) = 7

P (C) = n (C) / n (Ω) = ⅞ = 87.5%

הפניות

1. CanalPhi. ניסוי אקראי. התאושש מ-: youtube.com.
2. MateMovil. ניסוי אקראי. התאושש מ-: youtube.com
3. פישרו ניק ה. מבוא להסתברות. התאושש מ: probabilitycourse.com
4. רוס. הסתברות וסטטיסטיקות למהנדסים. מק-גריי היל.
5. ויקיפדיה. ניסוי (תורת ההסתברות). התאושש מ: en.wikipedia.com
6. ויקיפדיה. אירוע דטרמיניסטי. התאושש מ: es. wikipedia.com
7. ויקיפדיה. ניסוי אקראי. התאושש מ: es.wikipedia.com