אירועים עצמאיים: הדגמה, דוגמאות, תרגילים - דודס - 2025

שני אירועים אינם תלויים , כאשר ההסתברות שאחד מהם מתרחש אינה מושפעת מהעובדה שהאחר מתרחש - או לא מתרחש - בהתחשב בכך שאירועים אלה מתרחשים באופן אקראי.

נסיבה זו מתרחשת בכל פעם שהתהליך שמייצר את התוצאה של אירוע 1 אינו משנה בכל דרך שהיא את ההסתברות לתוצאות האפשריות של אירוע 2. אך אם זה לא קורה, אומרים שהאירועים תלויים.

איור 1. גולות צבעוניות משמשות לעתים קרובות כדי להסביר את ההסתברות לאירועים עצמאיים. מקור: Pixabay.

מצב אירוע עצמאי הוא כדלקמן: נניח ששתי קוביות בעלות שישה צדדים מגולגלות, האחת כחולה והשנייה ורודה. ההסתברות ש- 1 יתגלגל על ​​המשטח הכחול אינה תלויה בהסתברות ש- 1 יתגלגל או לא יתגלגל על ​​המיטה הוורודה.

מקרה נוסף של שני אירועים עצמאיים הוא זה של השלכת מטבע פעמיים ברציפות. תוצאת הזריקה הראשונה לא תהיה תלויה בתוצאה של השנייה ולהפך.

הוכחה לשני אירועים עצמאיים

כדי לוודא ששני אירועים אינם תלויים, נגדיר את מושג ההסתברות המותנית של אירוע אחד ביחס לאירוע אחר. לשם כך, יש להבדיל בין אירועים בלעדיים לאירועים מכילים:

שני אירועים הם בלעדיים אם לערכים או לאלמנטים של אירוע A אפשר שום דבר משותף לערכים או לאלמנטים של אירוע B.

לכן בשני אירועים בלעדיים, קבוצת הצומת של A עם B היא הוואקום:

לא כולל אירועים: A∩B = Ø

נהפוך הוא, אם האירועים כוללים, יתכן כי תוצאה של אירוע A עולה בקנה אחד עם זה של B אחרת, כאשר A ו- B הם אירועים שונים. במקרה הזה:

אירועים כלולים: A∩B ≠ Ø

זה מוביל לנו להגדיר את ההסתברות המותנית לשני אירועים מכילים, במילים אחרות, את ההסתברות להתרחשות של אירוע A, בכל פעם שאירוע B מתרחש:

P (A¦B) = P (A∩B) / P (B)

לפיכך, ההסתברות המותנית היא ההסתברות ש- A ו- B יתרחשו חלקי ההסתברות לפניה B. ניתן להגדיר גם את ההסתברות ש- B תותנה ב- A:

P (B¦A) = P (A∩B) / P (A)

קריטריונים לדעת אם שני אירועים אינם תלויים

בשלב הבא ניתן שלושה קריטריונים כדי לדעת אם שני אירועים אינם תלויים. מספיק שאחד מהשלושה יתגשם, כך שמודגמת עצמאות האירועים.

1.- אם ההסתברות ש- A מתרחשת בכל פעם ש- B מתרחשת שווה להסתברות ל- A, אז הם אירועים עצמאיים:

P (A¦B) = P (A) => A אינו תלוי ב- B

2.- אם ההסתברות ש- B מתרחשת A, שווה להסתברות של B, ישנם אירועים עצמאיים:

P (B¦A) = P (B) => B אינו תלוי ב- A

3.- אם ההסתברות ש- A ו- B מתרחשות שווה לתוצר של ההסתברות ש- A מתרחשת וההסתברות ש- B מתרחשת, אז הם אירועים עצמאיים. גם השיחה נכונה.

P (A∩B) = P (A) P (B) <=> A ו- B הם אירועים עצמאיים.

דוגמאות לאירועים עצמאיים

משווים בין סוליות גומי המיוצרות על ידי שני ספקים שונים. הדגימות מכל יצרן עוברות מספר בדיקות מהן ניתן להסיק אם הן נמצאות במסגרת המפרט או לא.

איור 2. איור 2. מגוון סוליות הגומי. מקור: Pixabay.

הסיכום המתקבל של 252 הדגימות הוא כדלקמן:

יצרן 1; 160 אכן עומדים במפרט; 8 אינם עומדים במפרט.

יצרן 2; 80 אכן עומדים במפרט; 4 אינם עומדים במפרט.

אירוע א: "שהמדגם הוא מיצרן 1".

אירוע B: "שהמדגם עומד במפרט."

אנו רוצים לדעת אם אירועים אלה A ו- B אינם תלויים או לא, עליהם אנו מיישמים אחד משלושת הקריטריונים המוזכרים בסעיף הקודם.

קריטריון: P (B¦A) = P (B) => B אינו תלוי ב- A

P (B) = 240/252 = 0.9523

P (B¦A) = P (A ⋂ B) / P (A) = (160/252) / (168/252) = 0.9523

מסקנה: אירועים A ו- B אינם תלויים.

נניח שאירוע C: "שהמדגם מגיע מיצרן 2"

האם אירוע B יהיה בלתי תלוי באירוע C?

אנו מיישמים את אחד הקריטריונים.

קריטריון: P (B¦C) = P (B) => B אינו תלוי ב- C

P (B¦C) = (80/252) / (84/252) = 0.9523 = P (B)

לכן, על סמך נתונים זמינים, ההסתברות שסולית גומי שנבחרה באופן אקראי עומדת במפרט אינה תלויה ביצרן.

המר אירוע עצמאי לאירוע תלוי

בואו נסתכל על הדוגמא הבאה כדי להבחין בין אירועים תלויים ועצמאיים.

יש לנו שקית עם שני כדורי שוקולד לבן ושני כדורים שחורים. ההסתברות לקבל כדור לבן או כדור שחור שווה כבר בניסיון הראשון.

נניח שהתוצאה הייתה כדור סימן. אם הכדור שנמשך מוחלף בתיק, המצב המקורי חוזר על עצמו: שני כדורים לבנים ושני כדורים שחורים.

כך שבאירוע או תיקו שני, הסיכוי לצייר כדור קיו או כדור שחור זהים לפעם הראשונה. לכן הם אירועים עצמאיים.

אך אם לא יוחלף כדור הרמז המצויר באירוע הראשון מכיוון שאכלנו אותו, בהגרלה השנייה יש סיכויים גדולים יותר למשוך כדור שחור. ההסתברות שמיצוי שני ישיג שוב לבן שונה מזו של האירוע הראשון ומותנה בתוצאה הקודמת.

תרגילים

- תרגיל 1

בתיבה שמנו את 10 הגולות של איור 1, מהן 2 ירוקות, 4 כחולות ו -4 לבנות. שני גולות ייבחרו באופן אקראי, אחד ראשון ואחד אחר כך. הוא מתבקש למצוא את
ההסתברות שאיש מהם אינו כחול, בתנאים הבאים:

א) עם החלפה, כלומר החזרת השיש הראשון לפני הבחירה השנייה לתיבה. ציין אם מדובר באירועים עצמאיים או תלויים.

ב) ללא החלפה, באופן שהשיש הראשון שחולץ נותר מחוץ לקופסה בעת ביצוע הבחירה השנייה. באופן דומה, ציין אם הם אירועים תלויים או עצמאיים.

פתרון ל

אנו מחשבים את ההסתברות שהשיש הראשון שחולץ אינו כחול, שהוא 1 מינוס ההסתברות שהוא כחול P (A), או ישירות שהוא לא כחול, מכיוון שהוא יצא ירוק או לבן:

P (A) = 4/10 = 2/5

P (אל תהיה כחול) = 1 - (2/5) = 3/5

נו טוב:

P (ירוק או לבן) = 6/10 = 3/5.

אם מוחזר השיש שחולץ, הכל כמו קודם. בתיקו שני זה קיימת גם הסתברות של 3/5 שהשיש שנמשך אינו כחול.

P (לא כחול, לא כחול) = (3/5). (3/5) = 9/25.

האירועים אינם תלויים, מכיוון שהשיש שחולץ הוחזר לקופסה והאירוע הראשון אינו משפיע על ההסתברות להתרחשותו של השני.

פיתרון ב

לצורך המיצוי הראשון המשך כמו בסעיף הקודם. ההסתברות שהוא לא כחול היא 3/5.

למיצוי השני יש לנו 9 גולות בתיק, מכיוון שהראשון לא חזר, אבל הוא לא היה כחול, ולכן בתיק יש 9 גולות ו -5 לא כחולות:

P (ירוק או לבן) = 5/9.

P (אף אחד לא כחול) = P (ראשית לא כחול). P (שני לא כחול / ראשון לא כחול) = (3/5). (5/9) = 1/3

במקרה זה הם אינם אירועים עצמאיים, מכיוון שהאירוע הראשון מתנה את השני.

- תרגיל 2

בחנות 15 חולצות בשלושה גדלים: 3 קטנות, 6 בינוניות ו 6 גדולות. 2 חולצות נבחרות באופן אקראי.

א) מהי ההסתברות ששתי החולצות שנבחרו הן קטנות, אם אחת נלקחת ראשונה ומבלי להחליף עוד אחת במגרש?

ב) מה ההסתברות ששתי החולצות שנבחרו הן קטנות, אם אחת מציירת ראשונה, מוחלפת באצווה, והשנייה מוסרת?

פתרון ל

להלן שני אירועים:

אירוע א: החולצה הראשונה שנבחרה קטנה

אירוע ב ': החולצה השנייה שנבחרה קטנה

ההסתברות שאירוע A מתרחש היא: P (A) = 3/15

ההסתברות שאירוע B מתרחש היא: P (B) = 2/14, מכיוון שחולצה כבר הוסרה (נותרו 14), אך גם האירוע A רוצה להתגשם, החולצה הראשונה שהוסרה חייבת להיות קטנה ולכן שניהם 2 קטנים.

כלומר, ההסתברות ש- A ו- B יהיו תוצר ההסתברויות היא:

P (A ו- B) = P (B¦A) P (A) = (2/14) (3/15) = 0.029

לכן ההסתברות שאירוע A ו- B מתרחש שווה למוצר שאירוע A מתרחש, פעמים ההסתברות שאירוע B מתרחש אם אירוע A.

צריך לציין ש:

P (B¦A) = 2/14

ההסתברות שאירוע B מתרחש ללא קשר אם אירוע A מתרחש או לא יהיה:

P (B) = (2/14) אם הראשון היה קטן, או P (B) = 3/14 אם הראשון לא היה קטן.

באופן כללי ניתן להסיק את הדברים הבאים:

P (B¦A) אינו שווה ל- P (B) => B אינו תלוי ב- A

פיתרון ב

שוב ישנם שני אירועים:

אירוע א: החולצה הראשונה שנבחרה קטנה

אירוע ב ': החולצה השנייה שנבחרה קטנה

P (A) = 3/15

זכור כי תהיה התוצאה אשר תהיה, החולצה המצוירת מהצוות מוחלפת ושוב חולצת חולצה באקראי. ההסתברות שאירוע B מתרחש, אם אירוע A התרחש הוא:

P (B¦A) = 3/15

ההסתברות להתרחש אירועים A ו- B תהיה:

P (A ו- B) = P (B¦A) P (A) = (3/15) (3/15) = 0,04

שים לב ש:

P (B¦A) שווה ל- P (B) => B אינו תלוי ב- A.

- תרגיל 3

שקול שני אירועים עצמאיים A ו- B. ידוע כי ההסתברות שאירוע A מתרחש היא 0.2 וההסתברות שאירוע B מתרחש הוא 0.3. מה ההסתברות ששני האירועים מתרחשים?

פיתרון 2

בידיעה שהאירועים אינם תלויים, ידוע כי ההסתברות ששני האירועים מתרחשים היא תוצר של ההסתברויות הבודדות. זאת אומרת,

P (A∩B) = P (A) P (B) = 0.2 * 0.3 = 0.06

שימו לב כי מדובר בהסתברות הרבה פחות מההסתברות שכל אירוע יתרחש ללא קשר לתוצאה של האחר. או לנסח דרך אחרת, נמוכה בהרבה מהסיכויים האישיים.

הפניות

1. Berenson, M. 1985. סטטיסטיקה לניהול וכלכלה. Interamericana SA 126-127.
2. מכון מונטריי. הסתברות לאירועים עצמאיים. התאושש מ: monterreyinstitute.org
3. מורה למתמטיקה. אירועים עצמאיים. התאושש מ-: youtube.com
4. סופר-פרופ. סוגי אירועים, אירועים תלויים. התאושש מ: superprof.es
5. מורה וירטואלי. הִסתַבְּרוּת. התאושש מ: vitutor.net
6. ויקיפדיה. עצמאות (הסתברות). התאושש מ: wikipedia.com