ציפייה מתמטית או הערך הצפוי של X משתנה מקרי, הוא כונה בשם E (X), והוא מוגדר כסכום של המוצר בין הסתברות של אירוע אקראי המתרחשים ואת הערך של האירוע אמר.
בצורה מתמטית זה בא לידי ביטוי באופן הבא:
תרשים 1. ציפייה מתמטית נמצאת בשימוש נרחב בשוק המניות ובביטוח. מקור: Pixabay.
כאשר x i הוא ערך האירוע ו- P (x i ) ההסתברות שלו להתרחשות. הסיכום משתרע על כל הערכים ש- X מודה. אם אלה סופיים, הסכום המצוין מתכנס לערך E (X), אך אם הסכום לא מתכנס, למשתנה פשוט אין ערך צפוי.
כאשר מדובר במשתנה רציף x, למשתנה יכולים להיות ערכים אינסופיים והאינטגרלים מחליפים את הסיכומים:
כאן f (x) מייצג את פונקציית צפיפות ההסתברות.
באופן כללי, הציפייה המתמטית (שהיא ממוצע משוקלל) אינה שווה לממוצע האריתמטי או הממוצע, אלא אם כן עסקינן בהתפלגויות בדידות בהן כל אירוע סביר באותה מידה. ואז, ורק אז:
כאשר n הוא מספר הערכים האפשריים.
הרעיון שימושי מאוד בשווקים פיננסיים ובחברות ביטוח, כאשר לעיתים קרובות חסרות וודאות אך קיימות הסתברויות.
מאפיינים של ציפייה מתמטית
בין המאפיינים החשובים ביותר של ציפייה מתמטית, בולטים הבאים:
- סימן: אם X חיובי, גם E (X) יהיה חיובי.
- ערך צפוי של קבוע : הערך הצפוי של קבוע k אמיתי הוא הקבוע.
- לינאריות בסכום: הציפייה למשתנה אקראי שהוא בתורו הסכום של שני משתנים X ו- Y הוא סכום הציפיות.
E (X + Y) = E (X) + E (Y)
- כפל קבוע : אם המשתנה האקראי הוא בצורת kX, כאשר k הוא קבוע (מספר אמיתי), הוא יוצא מחוץ לערך הצפוי.
- ערך צפוי של המוצר ועצמאות בין משתנים : אם משתנה אקראי הוא תוצר של המשתנים האקראיים X ו- Y, שהם בלתי תלויים, אז הערך הצפוי של המוצר הוא תוצר הערכים הצפויים.
באופן כללי, אם Y = g (X):
- סדר בערך הצפוי: אם X ≤ Y, אז:
מכיוון שיש את הערכים הצפויים של כל אחד מהם.
הציפייה המתמטית בהימורים
כאשר האסטרונום המפורסם כריסטיאן הויגנס (1629-1695) לא צפה בשמיים, הוא הקדיש את עצמו ללימוד, בין תחומים אחרים, ההסתברות במשחקי המקריות. הוא זה שהציג את מושג התקווה המתמטית בעבודתו בשנת 1656 שכותרתה: הגיון על משחקי מקריות.
איור 2. כריסטיאן הויגנס (1629-1625) היה מדען מבריק ורב-תכליתי, שאנו חייבים את מושג הערך הצפוי.
הויגנס מצא כי ניתן לסווג הימורים בשלוש דרכים, על סמך הערך הצפוי:
-משחקים עם יתרון: E (X)> 0
- הימורים הוגנים: E (X) = 0
-משחק בעמדת נחיתות: E (X) <0
הבעיה היא שבמשחק מקרי לא תמיד קל לחשב את הציפייה המתמטית. וכשאתה יכול, התוצאה לפעמים מאכזבת עבור מי שתוהה אם להמר או לא.
בואו ננסה הימור פשוט: ראשים או זנבות והמפסיד משלם קפה של $ 1. מה הערך הצפוי של הימור זה?
ובכן, ההסתברות לגלגל ראשים היא ½, שווה לזנבות. המשתנה האקראי הוא לזכות ב- $ 1 או להפסיד $ 1, הרווח מסומן בסימן + והפסד בסימן -.
אנו מארגנים את המידע בטבלה:
אנו מכפילים את ערכי העמודות: 1. ½ = ½ ו- (-1). ½ = -½ ולבסוף התוצאות מתווספות. הסכום הוא 0 וזה משחק הוגן, בו המשתתפים צפויים לא לנצח ולא להפסיד.
הרולטה הצרפתית והגרלה הם משחקי מוגבלות בהם מרבית ההימורים מפסידים. בהמשך יש הימור מעט יותר מורכב בקטע התרגילים שנפתרו.
דוגמאות
הנה כמה דוגמאות פשוטות בהן מושג הציפייה המתמטית הוא אינטואיטיבי ומבהיר את המושג:
דוגמא 1
נתחיל בגלגול למות כנה. מה הערך הצפוי של ההשקה? ובכן, אם למות הוא כנה ויש לו 6 ראשים, ההסתברות שכל ערך (X = 1, 2, 3 … 6) יתגלגל הוא 1/6, ככה:
E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3.5
איור 3. באיור של מטה כנה, הערך הצפוי אינו ערך אפשרי. מקור: Pixabay.
הערך הצפוי במקרה זה שווה לממוצע, מכיוון שלכל פנים יש את אותה ההסתברות לצאת. אבל E (X) אינו ערך אפשרי, מכיוון שאף ראשים אינם שווים 3.5. זה אפשרי בהחלט בחלק מההפצות, אם כי במקרה זה התוצאה לא מסייעת להמר הרבה.
בואו נסתכל על דוגמא אחרת עם השלכת שני מטבעות.
דוגמא 2
שני מטבעות כנים מושלכים לאוויר ואנו מגדירים את המשתנה האקראי X כמספר הראשים שמגלגלים. האירועים שיכולים להתרחש הם הבאים:
-לא ראשים עולים: 0 ראשים שזה שווה ל -2 זנבות.
-הוא יוצא 1 ראש וחותמת 1 או זנבות.
שני פרצופים יוצאים.
תן ל- C להיות ראש ו- T חותם, שטח הדגימה המתאר אירועים אלה הוא הבא:
S m = {חותם חותם; חותם פנים; חותם פנים; פנים-פנים} = {TT, TC, CT, CC}
ההסתברויות להתרחשויות הן:
P (X = 0) = P (T). P (T) = ½. ½ = ¼
P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T). P (C) + P (C). P (T) = ¼ + ¼ = ½
P (X = 2) = P (C). P (C) = ½. ½ = ¼
הטבלה בנויה עם הערכים המתקבלים:
על פי ההגדרה שניתנה בתחילת הדרך, הציפייה המתמטית מחושבת כ:
החלפת ערכים:
E (X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1
תוצאה זו מתפרשת כך: אם לאדם יש מספיק זמן לבצע מספר גדול של ניסויים על ידי השלכת שני המטבעות, הוא צפוי לקבל ראש על כל השלכה.
עם זאת, אנו יודעים ששחרורים עם 2 תוויות אפשריים בהחלט.
התרגיל נפתר
בהטלת שני מטבעות כנים, מתבצע ההימור הבא: אם יוצאים 2 ראשים, אתה זוכה ב -3 דולר, אם יוצא ראש אחד, אתה זוכה ב -1 $, אבל אם יוצאים שני בולים, אתה צריך לשלם 5 $. חשב את הניצחון הצפוי של ההימור.
איור 4. תלוי בהימור, הציפייה המתמטית משתנה כשזורקים שני מטבעות כנים. מקור: Pixabay.
פִּתָרוֹן
המשתנה האקראי X הוא הערכים שהכסף לוקח בהימור וההסתברויות חושבו בדוגמה הקודמת, ולכן טבלת ההימור היא:
E (X) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0
מכיוון שהערך הצפוי הוא 0, זהו משחק הוגן, כך שכאן צפוי מהמרמר לא לנצח ולא להפסיד. עם זאת, ניתן לשנות את סכומי ההימור כדי להפוך את ההימור למשחק נכות או למשחק נכות.
הפניות
- Brase, C. 2009. סטטיסטיקה מובנת. הוטון מיפלין.
- Olmedo, F. מבוא למושג הערך הצפוי או הציפייה המתמטית של משתנה אקראי. התאושש מ: personal.us.es.
- סטטיסטיקות LibreTexts. ערך צפוי של משתנים אקראיים בדידים. התאושש מ: stats.libretexts.org.
- Triola, M. 2010. סטטיסטיקה אלמנטרית. י"א. אד. אדיסון ווסלי.
- Walpole, R. 2007. הסתברות וסטטיסטיקה למדע והנדסה. 8. מַהֲדוּרָה. פירסון חינוך.