שגיאת דגימה: נוסחאות ומשוואות, חישוב, דוגמאות - דודס - 2025

דגימת השגיאה או דגימת השגיאה בסטטיסטיקת ההבדל בין הערך הממוצע של מדגם ואת הערך הממוצע של האוכלוסייה. כדי להמחיש את הרעיון, בואו נדמיין שאוכלוסיית העיר הכוללת היא מיליון תושבים, מהם אתם רוצים את גודל הנעליים הממוצע שלה, ולגביו נלקח מדגם אקראי של אלף איש.

הגודל הממוצע שיוצא מהמדגם לא בהכרח יעלה בקנה אחד עם כלל האוכלוסייה, אם כי אם המדגם אינו מוטה, הערך חייב להיות קרוב. ההבדל הזה בין הערך הממוצע של המדגם לזה של כלל האוכלוסייה הוא טעות הדגימה.

איור 1. מכיוון שהמדגם הוא תת-קבוצה של כלל האוכלוסייה, לממוצע המדגם יש שולי שגיאה. מקור: פ. זפטה.

הערך הממוצע של כלל האוכלוסייה אינו ידוע בדרך כלל, אך ישנן טכניקות להפחתת שגיאה זו ונוסחאות כדי להעריך את שולי שגיאת הדגימה שיידונו במאמר זה.

נוסחאות ומשוואות

בואו נגיד שאנחנו רוצים לדעת את הערך הממוצע של מאפיין x מדיד מסוים באוכלוסייה בגודל N, אך מכיוון ש- N הוא מספר גדול, אין זה אפשרי לבצע את המחקר על כלל האוכלוסייה, אז אנו ממשיכים לקחת מדגם אקראי של גודל n <

הערך הממוצע של המדגם מצוין על ידי והערך הממוצע של כלל האוכלוסייה מסומן על ידי האות היוונית μ (קרא mu או miu).

נניח שדגימות m נלקחות מכלל האוכלוסייה N, כולם בגודל שווה n עם ערכים ממוצעים 1>, 2>, 3>,….m>.

ערכים ממוצעים אלה לא יהיו זהים זה לזה וכולם יהיו בערך האוכלוסייה הממוצע הממוצע μ. שולי שגיאת הדגימה E מציין את ההפרדה הצפויה של הערכים הממוצעים יחסית לאוכלוסייה הממוצע הממוצע μ בתוך אחוז מוגדר הנקרא רמת הביטחון γ (גמא).

שולי השגיאה הסטנדרטיים ε של המדגם בגודל n הוא:

ε = σ / √n

כאשר σ הוא סטיית התקן (השורש הריבועי של השונות), המחושב באמצעות הנוסחה הבאה:

σ = √

המשמעות של שולי השגיאה הסטנדרטיים ε היא כדלקמן:

ערך ממוצע המתקבל על ידי המדגם בגודל n כלול במרווח ( - ε, + ε) עם רמת ביטחון של 68.3%.

כיצד לחשב שגיאת דגימה

בחלק הקודם ניתנה הנוסחה למציאת שולי השגיאה הסטנדרטיים של מדגם בגודל n, כאשר המילה תקן מציינת שזה מרווח שגיאה עם ביטחון של 68%.

זה מצביע על כך שאם נלקחו דגימות רבות באותו גודל n, 68% מהן יתנו ערכים ממוצעים בטווח.

ישנו כלל פשוט, המכונה כלל 68-95-99.7, המאפשר לנו למצוא את שגיאת הדגימה מדגימה E עבור רמות ביטחון של 68%, 95% ו 99.7% בקלות, מכיוון שמרווח זה הוא 1⋅ ε, 2 ⋅ ε ו- 3⋅ ε בהתאמה.

לרמת ביטחון

אם רמת הביטחון γ אינה מהאפשרויות המפורטות לעיל, שגיאת הדגימה היא סטיית התקן σ כפול הגורם Zy, המתקבל בהליך הבא:

1.- ראשית נקבעת רמת המשמעות α המחושבת מרמת הביטחון γ דרך הקשר הבא: α = 1 - γ

2.- עלינו לחשב את הערך 1 - α / 2 = (1 + γ) / 2, התואם את התדר הנורמלי המצטבר בין -∞ ל- Zγ, בתפוצה נורמלית או גאוסית שמכונה F (z), שהגדרתה ניתן לראות באיור 2.

3.- המשוואה F (Zγ) = 1 - α / 2 נפתרת באמצעות טבלאות ההתפלגות הרגילה (המצטברת) F, או באמצעות יישום מחשב שיש לו את הפונקציה הגאוסית ההפוכה F ^-1 .

במקרה האחרון יש לנו:

Zγ = G ^-1 (1 - α / 2).

4.- לבסוף, נוסחה זו מיושמת על שגיאת הדגימה ברמת אמינות γ:

E = Zγ ⋅ (σ / √n)

איור 2. טבלת ההתפלגות הרגילה. מקור: Wikimedia Commons.

דוגמאות

- דוגמה 1

חשב את שולי השגיאה הסטנדרטיים במשקל הממוצע של מדגם של 100 יילודים. חישוב המשקל הממוצע היה= 3,100 ק"ג עם סטיית תקן σ = 1,500 ק"ג.

פִּתָרוֹן

שולי השגיאה הסטנדרטיים הם ε = σ / √n = (1,500 ק"ג) / √100 = 0.15 ק"ג. המשמעות היא שעם נתונים אלה ניתן להסיק כי משקלם של 68% מהילודים הוא בין 2,950 ק"ג ל- 3.25 ק"ג.

- דוגמא 2

קבע את מרווח שגיאת הדגימה E ואת טווח המשקל של 100 ילודים עם רמת ביטחון של 95% אם המשקל הממוצע הוא 3,100 ק"ג עם סטיית תקן σ = 1,500 ק"ג.

פִּתָרוֹן

אם חל 68 חל; 95; 99.7 → 1⋅ ε; 2⋅ ε; 3⋅ ε, יש לנו:

E = 2⋅ε = 2⋅0.15 ק"ג = 0.30 ק"ג

במילים אחרות, 95% מהילודים יגיעו למשקלים שבין 2,800 ק"ג ל -3,400 ק"ג.

- דוגמא 3

קבע את טווח המשקולות של הילודים בדוגמה 1 עם מרווח ביטחון של 99.7%.

פִּתָרוֹן

שגיאת הדגימה עם ביטחון של 99.7% היא 3 σ / √n, שדוגמא שלנו הוא E = 3 * 0.15 ק"ג = 0.45 ק"ג. מכאן יוצא כי 99.7% מהילודים יהיו במשקלים בין 2,650 ק"ג ל -3,550 ק"ג.

- דוגמא 4

קבע את הגורם Zy לרמת ביטחון של 75%. קבע את מרווח שגיאת הדגימה ברמת אמינות זו למקרה המוצג בדוגמה 1.

פִּתָרוֹן

רמת הביטחון היא γ = 75% = 0.75, הקשורה לרמת המשמעות α דרך הקשר γ = (1 - α), כך שרמת המשמעות היא α = 1 - 0.75 = 0 , 25.

משמעות הדבר היא שההסתברות הנורמלית המצטברת בין -∞ ל- Zy היא:

P (Z ≤ Zγ) = 1 - 0.125 = 0.875

התואם לערך Zγ של 1.1503, כפי שמוצג באיור 3.

איור 3. קביעת גורם ה- Z המתאים לרמת ביטחון של 75%. מקור: F. Zapata דרך Geogebra.

במילים אחרות, שגיאת הדגימה היא E = Zγ ⋅ (σ / √n) = 1.15 ⋅ (σ / √n).

כאשר מוחל על הנתונים מדוגמא 1, הוא נותן שגיאה של:

E = 1.15 * 0.15 ק"ג = 0.17 ק"ג

עם רמת ביטחון של 75%.

- תרגיל 5

מהי רמת הביטחון אם Z _{α / 2} = 2.4?

פִּתָרוֹן

P (Z ≤ Z _{α / 2} ) = 1 - α / 2

P (Z ≤ 2.4) = 1 - α / 2 = 0.9918 → α / 2 = 1 - 0.9918 = 0.0082 → α = 0.0164

רמת המשמעות היא:

α = 0.0164 = 1.64%

ולבסוף, רמת הביטחון נשארת:

1- α = 1 - 0.0164 = 100% - 1.64% = 98.36%

הפניות

1. Canavos, G. 1988. הסתברות וסטטיסטיקה: יישומים ושיטות. מקגרו היל.
2. Devore, J. 2012. הסתברות וסטטיסטיקה להנדסה ומדע. 8. מַהֲדוּרָה. Cengage.
3. לוין, ר. 1988. סטטיסטיקה למנהלים. 2. מַהֲדוּרָה. אולם פרנטיס.
4. סודמן, ש '1982. שואל שאלות: מדריך מעשי לעיצוב שאלונים. סן פרנסיסקו. ג'וססי בס.
5. Walpole, R. 2007. הסתברות וסטטיסטיקה להנדסה ומדעים. פירסון.
6. וונקוט, ת''י ור'יי ווונקוט. 1990. סטטיסטיקת מבוא. המהדורה החמישית וויילי
7. ויקיפדיה. שגיאת דגימה. התאושש מ: en.wikipedia.com
8. ויקיפדיה. שולי הטעות. התאושש מ: en.wikipedia.com