ההתפלגות הבינומית היא התפלגות הסתברות שבאמצעותו ההסתברות של התרחשות אירועים מחושבת, ובלבד שהם מתרחשים תחת שתי שיטות: הצלחה או כישלון.
ייעודים אלה (הצלחה או כישלון) הם שרירותיים לחלוטין, מכיוון שהם לא בהכרח אומר דברים טובים או רעים. במהלך מאמר זה נציין את הצורה המתמטית של ההתפלגות הבינומית ואז יוסבר בפירוט המשמעות של כל מונח.
איור 1. איור 1. גליל למות הוא תופעה הניתנת למודל באמצעות התפלגות הבינומית. מקור: Pixabay.
משוואה
המשוואה היא כדלקמן:
עם x = 0, 1, 2, 3 … .n, איפה:
- P (x) הוא ההסתברות לקבל X בדיוק הצלחות בין n ניסיונות או ניסויים.
- x הוא המשתנה המתאר את תופעת העניין, המתאימה למספר ההצלחות.
- מספר הניסיונות
- p היא ההסתברות להצלחה בניסיון אחד
- q הוא ההסתברות לכישלון בניסיון אחד, לכן q = 1 - p
סימן הקריאה "!" משמש לציון עובדתי, כך:
0! = 1
אחד! = 1
שתיים! = 2.1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
וכן הלאה.
מוּשָׂג
ההתפלגות הבינומית מתאימה מאוד לתיאור מצבים בהם אירוע מתרחש או לא מתרחש. אם זה מתרחש זו הצלחה ואם לא, זה כישלון. יתר על כן, ההסתברות להצלחה חייבת תמיד להישאר קבועה.
ישנן תופעות שמתאימות לתנאים אלה, למשל השלכת מטבע. במקרה זה, אנו יכולים לומר ש"הצלחה "מקבלת פרצוף. ההסתברות היא ½ ולא משתנה, לא משנה כמה פעמים מטילים את המטבע.
גליל של למות כנה הוא דוגמא טובה נוספת, כמו גם לקטלג יצור מסוים לחלקים טובים ופיסות פגומות ולקבל אדום במקום שחור כאשר מסתובבים גלגל.
מאפיינים
אנו יכולים לסכם את מאפייני ההתפלגות הבינומית באופן הבא:
- כל אירוע או תצפית מופק מאוכלוסיה אינסופית ללא החלפה או מאוכלוסייה סופית עם החלפה.
- רק שתי אפשרויות נחשבות, בלעדיות זו מזו: הצלחה או כישלון, כפי שהוסבר בהתחלה.
- ההסתברות להצלחה חייבת להיות קבועה בכל תצפית שתבוצע.
- התוצאה של כל אירוע אינה תלויה בכל אירוע אחר.
- הממוצע של ההתפלגות הבינומית הוא np
- סטיית התקן היא:
דוגמה ליישום
בואו ניקח אירוע פשוט, שאולי ישיג 2 ראשים 5 על ידי גלגול למות כנה 3 פעמים. מה ההסתברות שב -3 השלכות יושגו 2 ראשים מתוך 5?
ישנן מספר דרכים להשיג זאת, למשל:
- שתי ההשקות הראשונות הן 5 והאחרונות לא.
- הראשון והאחרון הם 5 אבל לא האמצעיים.
- שתי הזריקות האחרונות הן 5 והראשון לא.
בואו ניקח את הרצף הראשון שתואר כדוגמא ונחשב את ההסתברות שלו להתרחשות. ההסתברות לקבל 5 ראשים בסיבוב הראשון היא 1/6, וגם על השנייה, מכיוון שהם אירועים עצמאיים.
ההסתברות לקבל ראש אחר שאינו 5 בסיבוב האחרון היא 1 - 1/6 = 5/6. לכן ההסתברות שרצף זה יוצא היא תוצר ההסתברויות:
(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0.023
מה עם שני הרצפים האחרים? יש להם אותה הסתברות: 0.023.
ומכיוון שיש לנו בסך הכל 3 רצפים מצליחים, ההסתברות הכוללת תהיה:
דוגמא 2
אוניברסיטה אחת טוענת כי 80% מהסטודנטים בקבוצת הכדורסל במכללה בוגרים. תחקיר בוחן את השיא האקדמי של 20 סטודנטים השייכים לקבוצת הכדורסל האמורה שנרשמו לאוניברסיטה לפני זמן מה.
מתוך 20 סטודנטים אלה, 11 סיימו את לימודיהם ו -9 נשרו.
איור 2. כמעט כל הסטודנטים שמשחקים בקבוצת המכללה. מקור: Pixabay.
אם הצהרת האוניברסיטה נכונה, למספר הסטודנטים המשחקים כדורסל ובוגרים, מתוך 20, צריך להיות חלוקה בינומית עם n = 20 ו- p = 0.8. מה ההסתברות שרק 11 מתוך 20 השחקנים יסיימו את לימודיהם?
פִּתָרוֹן
בתפוצה הבינומית:
דוגמא 3
החוקרים ערכו מחקר כדי לקבוע אם היו הבדלים משמעותיים בשיעורי הסיום בין סטודנטים לרפואה שהתקבלו באמצעות תכניות מיוחדות לבין סטודנטים לרפואה שהתקבלו בקריטריוני קבלה רגילים.
נמצא כי שיעור הסיום היה 94% עבור רופאי סטודנטים שהתקבלו באמצעות תכניות מיוחדות (בהתבסס על נתונים של כתב העת של האיגוד הרפואי האמריקני).
אם נבחרים באופן אקראי 10 מתוכניות התלמידים המיוחדות, מצא את ההסתברות שלפחות 9 מהם סיימו את לימודיהם.
ב) האם זה לא רגיל לבחור באקראי 10 סטודנטים מהתוכניות המיוחדות ולגלות שרק 7 מהם סיימו את לימודיהם?
פִּתָרוֹן
ההסתברות שסטודנט שהתקבל באמצעות תוכנית מיוחדת יסיים את לימודיו הוא 94/100 = 0.94. אנו בוחרים n = 10 סטודנטים מהתכניות המיוחדות ואנחנו רוצים לברר את ההסתברות שלפחות 9 מהם יסיימו את לימודיהם.
לאחר מכן מוחלפים הערכים הבאים בתפוצה הבינומית:
ב)
הפניות
- Berenson, M. 1985. סטטיסטיקה לניהול וכלכלה. Interamericana SA
- מתמטיקה. התפלגות הבינומית. התאושש מ: es.mathworks.com
- Mendenhall, W. 1981. סטטיסטיקה לניהול וכלכלה. 3. מַהֲדוּרָה. Iberoamérica, עורכת גרופ.
- מור, ד. 2005. סטטיסטיקה בסיסית יישומית. 2. מַהֲדוּרָה.
- Triola, M. 2012. סטטיסטיקה אלמנטרית. י"א. חינוך עורכת דין פירסון.
- ויקיפדיה. התפלגות הבינומית. התאושש מ: es.wikipedia.org