אקסיומות הסתברות: סוגים, הסבר, דוגמאות, תרגילים - דודס - 2025

אקסיומה של הסתברות הם הנחות מתמטיות בהתייחסו תורת ההסתברות, אשר לא הוכחת כישרון. האקסיומות הוקמו בשנת 1933 על ידי המתמטיקאי הרוסי אנדריי קולמוגורוב (1903-1987) ביסודות תורת ההסתברות שלו והניחו את היסודות למחקר המתמטי של הסתברות.

בעת ביצוע ניסוי אקראי מסוים ξ, שטח הדגימה E הוא הסט של כל התוצאות האפשריות של הניסוי, המכונה גם אירועים. כל אירוע נקרא A ו- P (A) הוא ההסתברות להתרחשותו. ואז קבע קולמוגורוב כי:

איור 1. אקסיומות ההסתברות מאפשרות לנו לחשב את ההסתברות לפגוע במשחקי סיכויים כמו רולטה. מקור: Pixabay.

- אקסיומה 1 (אי שליליות) : ההסתברות שכל אירוע A מתרחש היא תמיד חיובית או אפס, P (A) ≥0. כאשר ההסתברות לאירוע היא 0, זה נקרא אירוע בלתי אפשרי.

- אקסיומה 2 (וודאות) : בכל פעם שאירוע כלשהו ששייך ל- E, ההסתברות שלו להתרחשות היא 1, אותה אנו יכולים לבטא כ- P (E) = 1. זה ידוע כאירוע מסוים, שכן כאשר מבצעים ניסוי, בהחלט יש תוצאה.

- אקסיומה 3 (תוספת) : במקרה של שני אירועים בלתי תואמים או יותר שניים על שניים, הנקראים A ₁ , A ₂ , A ₃ …, ההסתברות שהאירוע A ₁ פלוס A ₂ פלוס A ₃ יתרחש וכן הלאה ברצף, זהו סכום ההסתברויות של כל קורה בנפרד.

זה בא לידי ביטוי: P (A ₁ AU ₂ AU ₃ U …) = P (A ₁ ) + P (A ₂ ) + P (A ₃ ) + …

איור 2. המתמטיקאי הרוסי המדהים אנדריי קולמוגורוב (1903-1987), שהניח את היסודות להסתברות אקסיומטית. מקור: Wikimedia Commons.

דוגמא

אקסיומות ההסתברות נמצאות בשימוש נרחב במספר רב של יישומים. לדוגמה:

נקישה או טאץ 'נזרקים לאוויר, וכשנופל לרצפה יש אפשרות לנחות עם הנקודה למעלה (U) או עם הנקודה כלפי מטה (D) (לא נשקול אפשרויות אחרות). שטח הדגימה לניסוי זה מורכב מאירועים אלה, ואז E = {U, D}.

איור 3. בניסוי זריקת המגע ישנם שני אירועים של הסתברויות שונות: נחיתה עם הנקודה למעלה או לכיוון האדמה. מקור: Pixabay.

על ידי יישום האקסיומות יש לנו:

אם יש סיכוי שווה לנחות למעלה או למטה, P (U) = P (D) = ½ (אקסיומה 1). עם זאת, הבנייה והתכנון של הדביקה עשויה לגרום לכך שיש סיכוי גבוה יותר ליפול כך או אחרת. לדוגמה, יכול להיות ש- P (U) = ¾ ואילו P (D) = ¼ (Axiom 1).

שים לב כי בשני המקרים, סכום ההסתברויות נותן 1. עם זאת, האקסיומות לא מציינות כיצד להקצות את ההסתברויות, לפחות לא לגמרי. אבל הם כן מציינים שמדובר במספרים בין 0 ל -1, וכמו במקרה זה, הסכום של כולם הוא 1.

דרכים להקצות הסתברות

אקסיומות ההסתברות אינן שיטה להקצאת ערך ההסתברות. לשם כך יש שלוש אפשרויות התואמות את האקסיומות:

הכלל של לפלס

לכל אירוע מוקצה אותה ההסתברות לקרות, ואז ההסתברות להתרחשות מוגדרת כ:

לדוגמה, מהי ההסתברות לשרטט אס ממס הקלפים הצרפתיים? לסיפון 52 קלפים, 13 מכל חליפה ויש 4 חליפות. לכל חליפה יש 1 אסים, כך שבסך הכל יש 4 אסים:

P (כ) = 4/52 = 1/13

הכלל של לפלס מוגבל למרחבי מדגם סופיים, כאשר כל אירוע סביר באותה מידה.

תדירות יחסית

כאן הניסוי צריך להיות ניתן לחזרה, מכיוון שהשיטה מבוססת על ביצוע מספר רב של חזרות.

בואו נעשה חזרות על הניסוי ξ, מהן אנו מגלים ש- n הוא מספר הפעמים שאירוע מסוים מתרחש, אז ההסתברות שאירוע זה מתרחש היא:

P (A) = lim _{i → ∞} (n / i)

כאשר n / i הוא התדר היחסי של אירוע.

הגדרת P (A) בדרך זו משביעה את האקסיומות של קולמוגורוב, אך יש לה את החיסרון שיש לבצע בדיקות רבות כדי שההסתברות תהיה מתאימה.

שיטה סובייקטיבית

אדם או קבוצת אנשים יכולים להסכים להקצות הסתברות לאירוע, באמצעות שיקול דעתם האישי. לשיטה זו יש את החיסרון שאנשים שונים יכולים להקצות הסתברויות שונות לאותו אירוע.

התרגיל נפתר

בניסוי להשליך בו זמנית 3 מטבעות כנים, השג את ההסתברויות לאירועים שתוארו:

א) 2 ראשים וזנב.

ב) ראש ושני זנבות

ג) 3 צלבים.

ד) לפחות פנים אחת.

פתרון ל

הראשים מסומנים על ידי C והזנבות על ידי X. אבל יש כמה דרכים להשיג שני ראשים וזנב. לדוגמה, שני המטבעות הראשונים יכולים להנחית ראשים והשלישי יכולים לנחות זנבות. או שהראשונים יכולים ליפול ראשים, הזנבות השני והראשים השלישיים. ולבסוף הראשון יכול להיות זנבות וראשים שנותרו.

כדי לענות על השאלות יש לדעת את כל האפשרויות המתוארות בכלי הנקרא תרשים עץ או עץ הסתברות:

איור 4. תרשים עץ לזריקה בו זמנית של שלושה מטבעות כנים. מקור: פ. זפטה.

ההסתברות שכל מטבע יהיה ראשים היא ½, הדבר נכון גם לגבי זנבות, מכיוון שהמטבע הוא כנה. העמודה הימנית מציגה את כל האפשרויות שיש לזריקה, כלומר את שטח הדגימה.

מתוך מרחב הדגימה נבחרים השילובים המגיבים לאירוע המבוקש, מכיוון שהסדר בו מופיעים הפרצופים אינו חשוב. ישנם שלושה אירועים חיוביים: CCX, CXC ו- XCC. ההסתברות לכל אירוע היא:

P (CCX) = ½. ½. ½ = 1/8

אותו דבר קורה באירועי CXC ו- XCC, לכל אחד מהם יש הסתברות של 1/8 לקרות. לכן ההסתברות לקבל בדיוק 2 ראשים היא סכום ההסתברות של כל האירועים החיוביים:

P (דו צדדי) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0.375

פיתרון ב

מציאת ההסתברות להתרחשות בדיוק של שני צלבים היא בעיה המקבילה לקודמתה, ישנם גם שלושה אירועים חיוביים שנלקחו ממרחב הדגימה: CXX, XCX ו- XXC. לכן:

P (2 צלבים) = 3/8 = 0.375

פיתרון ג

באופן אינטואיטיבי אנו יודעים שההסתברות לקבל 3 זנבות (או 3 ראשים) נמוכה יותר. במקרה זה, האירוע המבוקש הוא XXX, בסוף העמודה הימנית, שהסבירותה היא:

P (XXX) = ½. ½. ½ = 1/8 = 0.125.

פיתרון ד

הוא מתבקש להשיג לפחות פנים אחת, המשמעות היא שיכולים לצאת 3 פרצופים, 2 פרצופים או פנים אחד. האירוע הבלתי תואם היחיד עם זה הוא זה בו יוצאים 3 זנבות, שההסתברות שלהם היא 0.125. לכן ההסתברות המבוקשת היא:

P (לפחות ראש אחד) = 1 - 0.125 = 0.875.

הפניות

1. Canavos, G. 1988. הסתברות וסטטיסטיקה: יישומים ושיטות. מקגרו היל.
2. Devore, J. 2012. הסתברות וסטטיסטיקה להנדסה ומדע. 8. מַהֲדוּרָה. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Probability. מקגרו היל.
4. Obregón, I. 1989. תורת ההסתברות. לימוזה עריכה.
5. Walpole, R. 2007. הסתברות וסטטיסטיקה להנדסה ומדעים. פירסון.